5.7. Відкриті транспортні задачі.
При
розгляді транспортної задачі (5.1 -
5.4) передбачалася справедливість рівності
.
Такі транспортні задачі називаютьсязакритими
(збалансованими). На
практиці часто виникають так звані
відкриті
(незбалансовані)
транспортні
задачі, для яких
.
Якщо
,
то задача полягає у відшукуванні найбільш
дешевого плану перевезень, при якому
повністю задовольняються потреби
пунктів призначення Вj
(
); при цьому не всі запаси пунктів
відправлення вичерпуються.
Якщо
ж
,
то потреби пунктів призначення не
повністю задовольняються, а запаси
пунктів відправлення вичерпуються.
Відкрита транспортна задача зводиться до закритої у такий спосіб.
Нехай
.
Введемо фіктивний пункт призначення
Вn+1
з потребою
.
Будемо
вважати, що cin+1=0
при всіх
.
Після вирішення отриманої закритої
транспортної задачі опустимо перевезення
в пункт Вn+1;
одержимо оптимальний план перевезень
для відкритої транспортної задачі.
Аналогічно,
у випадку справедливості нерівності
вводиться фіктивний пункт відправлення
Аm+1,
і справа зводиться до вирішення закритої
транспортної задачі.
Приклад. Нехай вихідні дані наведені в таблиці 5.12
Таблиця 5.12
|
Пп Пв |
В1 |
В2 |
В3 |
Запаси |
|
А1 |
2
|
4
|
3
|
20 |
|
А2 |
1
|
5
|
4
|
30 |
|
Потреби |
15 |
25 |
18 |
58 #50 |
Це
відкрита транспортна задача, у якій
.
Введемо фіктивний пункт відправлення А3 із запасом 8 (табл. 5.13)
Таблиця 5.13
|
Пп Пв |
В1 |
В2 |
В3 |
Запаси |
|
А1 |
2
|
4
|
3
|
20 |
|
А2 |
1
|
5
|
4
|
30 |
|
А3 |
0
|
0
|
0
|
8 |
|
Потреби |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
Вийшла закрита транспортна задача. Вирішимо її методом потенціалів (табл. 5.14, 5.15, 5.16, 5.17).
Таблиця 5.14 Таблиця 5.15
|
Пп Пв |
В1 |
В2 |
В3 |
Запаси |
αi |
Пп Пв |
В1 |
В2 |
В3 |
Запаси |
αi | |
|
А1 |
15 |
4 5 |
3 3
|
20 |
0 |
|
А1 |
2 2
|
20 |
5 3
|
20 |
1 |
|
А2 |
3 1
|
5 20 |
4 10 |
30 |
1 |
|
А2 |
1 15 |
5 5 |
4 10 |
30 |
0 |
|
А3 |
-1 0
|
1 0
|
0 8 |
8 |
-3 |
|
А3 |
-3 0
|
1 0
|
0 8 |
8 |
-4 |
|
Потре би |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
|
|
Потре би |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
|
|
βj |
2 |
4 |
3 |
|
|
|
βj |
1 |
5 |
4 |
|
|
2
4
Таблиця 5.16 Таблиця 5.17
|
Пп Пв |
В1 |
В2 |
В3 |
Запаси |
αi |
Пп Пв |
В1 |
В2 |
В3 |
Запаси |
αi | |
|
А1 |
0
|
4 10 |
3 10 |
20 |
0 |
|
А1 |
0 2
|
4 2 |
3 18 |
20 |
0 |
|
А2 |
1 15 |
5 15 |
4
|
30 |
1 |
|
А2 |
1 15 |
5 15 |
4 4
|
30 |
1 |
|
А3 |
-3 0
|
1 0
|
0 8 |
8 |
-3 |
|
А3 |
-4 0
|
0 8 |
0
|
8 |
-4 |
|
Потре би |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
|
|
Потре би |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
|
|
βj |
0 |
4 |
3 |
|
|
|
βj |
0 |
4 |
3 |
|
|
2
У таблиці 5.17 - оптимальний план перевезень для закритої транспортної задачі. Опускаємо перевезення з фіктивного пункту А3, одержимо оптимальний план для відкритої транспортної задачі (табл.5.18).
fmin = 2• 4 + 18• 3 + 15• 1 + 15• 5 = 152
Потреба пункту В2 задоволена не повністю.
Таблиця 5.18
|
Пн По |
В1 |
В2 |
В3 |
Запаси |
|
А1 |
2
|
4 2 |
3 18 |
20 |
|
А2 |
1 15 |
5 15 |
4
|
30 |
|
Потре би |
15 |
25 |
18 |
|