6.4. Вирішення зцлп методом округлення

Метод округлення - найпростіший метод наближеного вирішення ЗЦЛП. Його сутність полягає в тому, що вирішується ослаблена задача (як задача лінійного програмування) і отримане оптимальне рішення ЗЛП округляється до цілочислового рішення. Цей метод має два суттєвих недоліки:

у результаті округлення може вийти неприпустиме рішення;
рішення, отримане в результаті округлення, будучи припустимим, може значно відрізнятися від оптимального.

Приклад 1.

Вирішивши геометрично ослаблену задачу, одержуємо оптимальне рішення:

Зробимо округлення:

x₁=2; x₂=0. Одержимо неприпустиме рішення - не задовольняється обмеження 7x₁+4x₂<=13 (дійсно, 7*2+4*0<=13 – хибна нерівність).

2)х₁=1; х₂=0. Це припустиме рішення. Значення цільової функції f=21*1+11*0=21, що значно відрізняється від оптимального значення.

Оптимальне рішення цієї ЗЦЛП таке: х₁=0; х₂=3; f_max =33.

Метод округлення можна використовувати тоді, коли цільова функція малочутлива до змін змінних у межах одиниці.

6.5. Метод гілок і меж

Цей метод точного вирішення ЗЦЛП найчастіше використовується на практиці. Він полягає в наступному.

Спочатку вирішується ослаблена задача. Якщо отримане оптимальне рішення цілочислове, то ЗЦЛП вирішена. Якщо ж оптимальне рішення ЗЛП не є цілочисловим, то робимо "розгалуження" у такий спосіб. Нехай змінна х_s прийняла в оптимальному рішенні значення q_s, що не є цілим. Тоді розглядаємо дві ЗЦЛП. Перша виходить додаванням обмеження х_s<=[q_s], друга – додаванням обмеження х_s>=[q_s] + 1, де [q_s] - ціла частина числа q_s .

Кожна із цих двох задач аналогічним способом може розбитися ще на дві задачі і т.д.

Якщо в результаті вирішення якої-небудь із задач виходить цілочисловий оптимальний план, то значення А цільової функції при цьому плані відіграє роль "межі": якщо в результаті вирішення чергової ЗЛП з'ясується, що оптимальне значення цільової функції "гірше" А, тоді така задача "не гілкується".

Недолік методу гілок і меж полягає в тому, що часто оптимальне рішення ЗЦЛП досягається після дуже великої кількості розгалужень.

Повернемося до ЗЦЛП прикладу 1.