3.2. Табличний вигляд злп. Симплекс - таблиці
Для скорочення й упорядкування записів при вирішенні ЗЛП симплекс-методом використовуються так звані симплекси-таблиці. Щоб скористатися симплекс-таблицею, ЗЛП потрібно привести до табличного вигляду. Робиться це так.
Нехай ЗЛП записана в канонічному вигляді (2.3-2.5). Для приведення ЗЛП до табличного вигляду систему (2.4) слід спочатку привести до жорданової форми з невід’ємними правими частинами. Припустимо, що ця жорданова форма має вигляд (2.6). Виразимо з (2.6) базисні змінні через вільні:
(3.1)
Підставивши в цільову функцію (2.3) замість базисних змінних їхні вираження через вільні змінні за формулами (3.1), вилучимо тим самим із цільової функції базисні змінні. Цільова функція прийме вигляд:
(3.2)
У табличному вигляді цільова функція записується так:
(3.3)
де
.
Відзначимо наступні особливості табличного вигляду ЗЛП:
а) система лінійних рівнянь приведена до жорданової форми з невід’ємними правими частинами;
б) із цільової функції виключені базисні змінні й вона записана у формі (3.3).
Перейдемо тепер до опису симплекса-таблиці. Нехай ЗЛП записана в табличному вигляді:
(3.4)
Тоді заповнена симплекс-таблиця виглядає так.
Таблиця 3.1.
|
Базис |
Змінні |
Вільні члени | |||||||
|
|
|
|
... |
xk |
|
|
... |
|
|
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
... |
|
|
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
|
|
... |
|
|
|
. . . |
. . |
. . |
... |
. . |
. . |
. . |
... |
. . |
. . . |
|
|
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
... |
|
|
|
f |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
.... |
|
|
Опорний
план ЗПЛ:
...,
називається
опорним планом, що відповідає цій
симплекс-таблиці. Як видно з формули
(3.2), значення цільової функції при цьому
опорному плані дорівнює γ0.
Розглянемо приклад. Привести до табличного вигляду наступну ЗЛП і заповнити симплекс-таблицю:
Спочатку ЗЛП потрібно привести до канонічного вигляду. Для цього функцію f потрібно замінити на - f:
Система
рівнянь повинна бути записана в жордановій
формі з невід’ємними
правими частинами. Загальний прийом,
за допомогою якого це досягається, буде
розглянутий пізніше (параграф 3.7). У
нашому прикладі така жорданова форма
вже є з базисними змінними
і
.
Виключимо базисні змінні із цільової
функції - f. Для цього виразимо їх через
вільні й підставимо ці вираження в
цільову функцію.
Табличний вигляд ЗЛП такий:
Заповнимо симплекс-таблицю (для скорочення записів перший стовпчик названий "Б", останній стовпчик - "Q").
Таблиця 3.2.
|
Б |
|
|
|
|
Q |
|
|
4 |
1 |
-5 |
0 |
8 |
|
|
-7 |
0 |
-2 |
1 |
4 |
|
-f |
-4 |
0 |
8 |
0 |
-20 |
Опорний план, що відповідає цій симплекс-таблиці, має вигляд:
.
Значення функції - f при цьому опорному
плані дорівнює - 20.