Вопросы и задания

1. Сформулируйте критерий устойчивости Михайлова и продемонстрируйте его использование для оценки САУ 3-го порядка с произвольной передаточной функцией.

2. Поясните процедуры определения допустимых настроек САУ по условию устойчивости.

1.11. Критерий устойчивости Найквиста.

Использование ЛАЧХ для оценки устойчивости САУ

Критерий Найквиста является частотным. САУ должна иметь структуру с единичной обратной связью (рис.1.37). Для оценки устойчивости используется частотная характеристика разомкнутой САУ.

Подготовительные операции.

Вычисляем и строим годограф W_раз(jω) частотной характеристики разомкнутой САУ при значениях ω= 0 … ∞ (рис.1.38).

Формулировка критерия Найквиста зависит от вида частотной характеристики W_раз(jω) разомкнутой САУ. Ниже рассмотрим только два вида W_раз(jω), которые чаще всего встречаются на практике.

1). Пусть разомкнутая САУ устойчива. Тогда замкнутая САУ будет устойчива, если годограф W_раз(jω) Найквиста, начинаясь на положительной части действительной оси, не охватывает точку –1 действительной оси (рис.1.38а). Если годограф охватывает точку –1 действительной оси (рис.1.38б), то САУ неустойчива (рис.1.38б), а если проходит через точку –1 действительной оси, то САУ находится на грани устойчивости (рис.1.38в).

2). Пусть разомкнутая САУ обладает астатизмом 1-го порядка, являясь САУ, находящейся на грани устойчивости. В этом случае начало годографа W_раз(jω) разомкнутой САУ при ω=0 находится на бесконечности (рис.1.39). Необходимо такой годограф дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начинающейся на положительной части действительной оси и заканчивающийся на начале годографа W_раз(jω). Тогда к такому годографу применимы все правила, по которым оценивалась устойчивость как на рис.1.38.

Использование ЛАЧХ для оценки устойчивости САУ

Введем на построениях критерия устойчивости Найквиста косвенные показатели качества – запас по фазе γ и частоту среза ω_ср (рис.1.40). Запас по фазе γ характеризует удаленность годографа W_раз(jω) от точки с координатой –1 на вещественной оси. Для устойчивости САУ достаточно, чтобы запас по фазе был бы положительным. Чем больше запас по фазе, тем меньше перерегулирование на графике переходного процесса (см. рис.1.41). Считается для качественной САУ достаточно иметь запас по фазе в пределах 30^о…50^о.

Из построений, приведенных на рис.1.40, следует, что:

1) запас по фазе можно рассчитать по выражению частотной характеристики W_раз(jω), подставив в него значение частоты среза ω_ср.

2) на частоте среза ω_ср значение модуля частотной характеристики W_раз(jω) равно единице - , логарифм от такого модуля равен нулю -и, следовательно, значение ЛАЧХ от частотной характеристикиW_раз(jω) на частоте среза также равно нулю - ;

3) запас по фазе γ и значение фазочастотной характеристики, вычисленное на частоте среза удовлетворяют равенству

, (1.53)

и, следовательно, запас по фазе определяется по выражению фазочастотной характеристики φ(ω), вычисленное при одной частоте – частоте среза ω_ср.

Описанные свойства построений, приведенных на рис.1.40, позволяют перейти к определению частоты среза из графика ЛАЧХ разомкнутой САУ (рис.1.41).

Частота среза определяется графически как точка пересечения ЛАЧХ L(ω) с осью частоты ω. Далее рассчитывается только одно значение фазы φ(ω_сз) и по выражению (1.53) определяется запас по фазе γ.

Простота построения ЛАЧХ (см. тему 1.4), а также простота вычисления запаса по фазе, обусловливает простое использование критерия устойчивости Найквиста в следующей формулировке:

Замкнутая САУ устойчива, если запас по фазе для разомкнутой САУ положительный, неустойчива, если запас по фазе отрицательный и находится на грани устойчивости при нулевом запасе по фазе.