Понятие об устойчивости сау. Прямые методы устойчивости. Критерий устойчивости Гурвица. Определение допустимых настроек сау

САУ называется устойчивой, если при t переходный процесс стремится к установившемуся значению. Учитывая то, что в линейных САУ по существу рассматриваются линеаризованные системы, то указанный вид устойчивости справедлив при малых отклонениях от первоначального устойчивого состояния. Эту устойчивость называют также "устойчивостью в малом". Иллюстрации такой устойчивости приведены на рис.1.33.

Свойство устойчивости для САУ является обязательным, так как неустойчивая САУ фактически неработоспособна.

Устойчивость можно оценить прямыми методами или при помощи критериев устойчивости.

Прямые методы оценки устойчивости.

Свойство устойчивости может быть определено по графику переходного процесса (рис.1.33г). Однако расчёт и построение графика переходного процесса требует больших вычислений.

Проще установить устойчивость без построения графика h(t), а только по корням характеристического уравнения изображения переходного процесса h(p). Каждому корню характеристического уравнения соответствует свой член, входящий как слагаемое в выражение h(t) переходного процесса. В таблице 1.5 приведены соответствия корней характеристического уравнения САУ, вид слагаемых в выражении переходного процесса и характеристики устойчивости САУ.

Оценка устойчивости либо по графику переходного процесса, либо по корням характеристического уравнения имеет тот недостаток, что её невозможно в общем случае применить к САУ, в передаточной функции которой содержится хотя бы один буквенный коэффициент, так как не существует аналитических методов решения алгебраических уравнений (именно таким уравнением является характеристическое уравнение САУ) выше 3-й степени. По этой же причине неприменима указанная оценка устойчивости на этапе синтеза САУ.

Оценка устойчивости при помощи критериев устойчивости.

В ТАУ для оценки устойчивости применяются критерии устойчивости. Критериями устойчивости называются совокупность процедур и правил, с помощью которых можно установить факт устойчивости САУ без нахождения корней характеристического уравнения. Существуют различные виды таких критериев как алгебраических, так и частотных. Ниже рассмотрены наиболее применимые в ТАУ критерии Гурвица, Михайлова и Найквиста.

Таблица 1.5

Тип корня характеристического уравнения	Слагаемое в выражении h(t)	Переходный процесс h(t)
1. p=0	С	Устойчив
2. p1=0, p2=0 (два нулевых корня)	Сt	Неустойчив
3. p= (действительный корень)		Устойчив при <0 и неустойчив при >0
4. p=j (комплексные корни)		Устойчив при <0 и неустойчив при >0
5. p=j (корни чисто мнимые)		На грани устойчивости

Критерий устойчивости Гурвица

Критерий Гурвица является алгебраическим. Для оценки устойчивости используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ. Структура САУ может быть любой.

Вводная часть к критерию Гурвица.

Пусть замкнутая САУ имеет следующую передаточную функцию

Из коэффициентов характеристического многочлена

составляем следующую матрицу

(1.45)

Порядок заполнения матрицы следующий. Сначала по диагонали матрицы располагают коэффициенты от a₁ до a_n. Затем над диагональными элементами располагают коэффициенты с возрастающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0. Далее под диагональными элементами располагают коэффициенты с убывающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0.

Формулировка критерия Гурвица: САУ устойчива, если:

1) положительны все коэффициенты характеристического многочлена;

2) положительны все n главных (диагональных) определителей Гурвица матрицы (1.45):

(1.46)

Последний определитель не вычисляют, так как его знак совпадает со знаком Δ_n-1:

Δ_n=a_nΔ_n-1

Если хотя бы один определитель Гурвица отрицателен, то САУ неустойчива. Если имеется хотя бы один определитель Гурвица равен нулю при остальных положительных, то САУ находится на границе устойчивости.

Числовой пример.

Определить устойчивость САУ с передаточной функцией

(1.47)

Составляем матрицу Гурвица и главные определители

Оба определителя положительны, поэтому САУ устойчива.

Определение допустимых настроек САУ.

Если передаточная функция САУ содержит хотя бы один буквенный коэффициент, значение которого может быть любым числом, то с помощью критерия Гурвица можно определить допустимые по условию устойчивости значения такого коэффициента. При двух буквенных коэффициентах возможно совместное определение допустимых значений таких коэффициентов и выделение областей устойчивости на плоскости этих коэффициентов. Покажем это на примере.

Пусть САУ управления курсом судна, представленная на рис.1.34, состоит из двух звеньев - авторулевого и судна. Передаточные функции авторулевого и судна имеют вид, соответственно,

Постоянная времени T судна зависит от загрузки судна и изменяется от 10 с при порожнем судне до 60 с при полностью загруженном. Параметром настройки авторулевого является коэффициент передачи K. Необходимо найти такие значения параметра K, при которых САУ устойчива при изменении загрузки судна.

Определяем передаточную функцию замкнутой САУ

(1.48)

Составляем матрицу Гурвица и вычисляем 2-й определитель:

(1.49)

С учётом положительности всех коэффициентов характеристического многочлена при условии (1.49) САУ будет устойчива при одновременном выполнении следующей системы неравенств

(1.50)

САУ будет находиться на границе устойчивости, если будет выполнено хотя бы одно из равенств

. (1.51)

Каждое из равенств (1.51) является на плоскости T-K границей области устойчивости (рис.1.35). Штриховкой обозначены области устойчивости по отношению к линиям границы устойчивости. Общая область a0d для всех заштрихованных областей является областью устойчивости САУ.

Пусть при порожнем судне с Т_порож установлен коэффициент передачи K₁ регулятора. Этот состояние САУ отмечено точкой 1, лежащей в области устойчивости. Если после загрузки судна значение T увеличится до T_груж, то при том же K₁ САУ в точке 2 будет неустойчива. Необходимо будет увеличить K до значения K₃, чтобы система оказалась в точке 3. Область, ограниченная ломаной линией abcd, будет областью устойчивости при любой загрузке судна.