ЛЕКЦИЯ_5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

Автоматических систем

5.1 Основные способы математического описания.Уравнения движения.

мает постоянное значение y = y₀ и уравнение (1) преобразуется к виду:

(2)

Конечное уравнение (2) является уравнением статики. Статический режим можно характеризовать с помощью статических характеристик.Статической характеристикой объекта (системы) называется зависимость выходной величины от входной в статическом режиме.Статическую характеристику можно построить экспериментально, если подавать на вход объекта постоянные воздействия и замерять выходную переменную после окончания переходного процесса. Если объект имеет несколько входов, то он характеризуется семейством статических характеристик. В свою очередь, сама статическая характеристика характеризуется коэффициентом k, который определяется как k= dy/dx. Для объектов с нелинейной статической характеристикой коэффициент усиления является переменной величиной, для объектов же с линейными статическими характеристиками коэффициент усиления – величина постоянная (рис. 5.1).

Рис. 5.1 Статическая характеристика объектов:

а – нелинейного; б – линейного

5.2 Примеры уравнений объектов управления

В теории автоматического управления широко используется метод математических аналогий, согласно которому различные по физической природе объекты описываются однотипными математическими зависимостями.

Рассмотрим некоторые примеры составления уравнений статики и динамики для различных по физической природе объектов.

5.2.1 Гидравлический резервуар

Примером простейшего объекта автоматического управления является гидравлический резервуар, в котором имеется приток и сток жидкости. Принципиальная и структурная схемы представлены на рис. 5.2.

Основной координатой, характеризующей состояние рассматриваемого объекта, является уровень жидкости Н, который выбирается в качестве выходной регулируемой величины. Входным и соответственно регулирующим воздействием является скорость притока воды в резервуар Q, внешним возмущением – расход воды из резервуара G. При постоянной степени открытия дросселя на притоке жидкости, уровень

Рис. 5.2 Гидравлическая емкость:

а – принципиальная схема; б – структурная схема

определяется разностью (Q – G). По условиям работы объекта величина притока Q изменяется произвольно во времени. Уравнение динамики, описывающее зависимость уровня H в переходном режиме от Q, в соответствии с законом гидравлики записывается в виде

(3)

где S – площадь поперечного сечения резервуара.

Уравнение (3) представляет собой математическое описание объекта регулирования – гидравлической емкости и является обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

5.2.2 Электрическая емкость

Электрической емкостью называется цепь, состоящая из сопротивления R и емкости С (рис. 5.3).

Рис. 5.3 Электрическая емкость:

а – принципиальная схема; б – структурная схема

Выходной координатой такого объекта может быть выбран заряд q на обкладках конденсатора, а входной – напряжение на входе цепи U вх . Дифференциальное уравнение может быть получено на основе закона Кирхгофа: (4)

Таким образом, математическим описанием электрической емкости является обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка.