Вопросы и задания
1. Дайте определение устойчивости. Назовите прямые методы устойчивости и дайте характеристику области их применимости.
2. Что представляют собой критерии устойчивости ? В чем состоят их преимущества перед прямыми методами ?
3. Приведите формулировку критерия устойчивости Гурвица и продемонстрируйте его использование для оценки САУ 3-го порядка с произвольной передаточной функцией.
4. Поясните процедуры определения допустимых настроек САУ по условию устойчивости.
1.10. Критерий устойчивости Михайлова.
Определение допустимых настроек САУ
Критерий Михайлова является частотным. Для оценки устойчивости используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ. Структура САУ может быть любой.
Подготовительные операции.
Пусть замкнутая САУ имеет следующую передаточную функцию
Из коэффициентов характеристического многочлена
образуем годограф Михайлова
(1.52)
Вычисляем и строим годограф D(jω) при значениях ω= 0 … ∞ (рис.1.36).
Формулировка критерия Михайлова: САУ п-го порядка устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на положительной части действительной оси, проходит против часовой стрелки подряд ровно п квадрантов (рис.1.36а). Если годограф проходит п квадрантов не подряд или проходит меньше квадрантов, чем п, то САУ неустойчива (рис.1.36б). Если годограф при любой частоте проходит через начало координат, то САУ находится на грани устойчивости (рис.1.36в).
Оценка устойчивости с использованием графика годографа Михайлова наглядна, но требует громоздких вычислений по выражению (1.52). Если учесть, что для оценки устойчивости важен только факт прохождения годографом п квадрантов против часовой, а не сама форма годографа (рис.1.36а), то на этом можно существенно сократить вычисления. Достаточно найти частоты ω1, ω2, …, ωп, при которых пересекаются оси координат, упорядочить их по возрастанию и для этих частот найти последовательно знаки (+ или -) выражений Р(ω1), Q(ω2), P(ω3),…, где Р и Q - соответственно, действительные и мнимые части выражения W(jω). САУ будет устойчива, если знаки выражений Р и Q будут чередоваться согласно табл.1.6.Любое отступления от табл.1.6 свидетельствует о том, что САУ либо неустойчива, либо находится на грани устойчивости.
Числовой пример.
Определить устойчивость САУ с передаточной функцией (1.47). Характеристический многочлен от (1.47) и годограф Михайлова имеют вид
В точках пересечения годографа с действительной осью выполняется равенство
,
откуда ω1=0
и
Для этих частот рассчитываем значения Р(ω):
В точках пересечения годографа с мнимой осью выполняется равенство
,
откуда
Для этой частоты рассчитываем значение Q(ω):
Составляем таблицу по типу табл.1.6.
|
ω |
0 |
0,5 |
0,632 |
|
Р(ω) |
+ |
0 |
- |
|
Q(ω) |
0 |
+ |
0 |
Чередование знаков Р(ω) и Q(ω) правильное и, поэтому, САУ устойчива.
Определение допустимых настроек САУ.
Если передаточная функция САУ содержит хотя бы один буквенный коэффициент, значение которого может быть любым числом, то с помощью критерия Михайлова можно определить допустимые по условию устойчивости значения такого коэффициента. При двух буквенных коэффициентах возможно совместное определение допустимых значений таких коэффициентов и выделение областей устойчивости на плоскости этих коэффициентов. Покажем это на примере, рассмотрев САУ управления курсом судна, представленную на рис.1.34.
Характеристический многочлен согласно (1.48) и годограф Михайлова имеют вид
В точках пересечения годографа с действительной осью выполняется равенство
,
откудаω1=0
и
.
Для этих частот рассчитываем значения Р(ω):
Значение Р(ω2)
будет отрицательным числом при T<100K
или
K>0,01.T
, что совпадает с (1.50). При этом соотношении
или
.
В точках пересечения годографа с мнимой осью выполняется уравнение
,
откуда
Для этой частоты рассчитываем значение Q(ω):
при K>0,01.T .
Составляем таблицу по типу табл.1.6.
|
ω2 |
0 |
0,00015 |
>0,00015 |
|
Р(ω) |
+ |
0 |
- |
|
Q(ω) |
0 |
+ |
0 |
Чередование знаков Р(ω) и Q(ω) правильное и, поэтому, САУ при K>0,01.T устойчива.