Тема 2 «Элементы векторной алгебры» Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок . Обозначается или . Вектор характеризуется длиной (модулем) или и направлением. Нулевой вектор .

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Т.е. они лежат на одной или параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины. Векторы бывают свободными, скользящими и приложенными.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов и умножение их на число называют линейными операциями.

. При этом вектор коллинеарен вектору . . Векторы и направлены одинаково, если и противоположно, если (если , то есть нулевой вектор).

1. Сложение векторов коммутативно (переместительно) .

2. Сложение векторов ассоциативно (сочетательно) .

3. Любой вектор не изменится, если к нему добавить нулевой вектор

4. Векторы и являются противоположными, т.е. .

5. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. для любых чисел α и β будет .

6. Умножение вектора на число дистрибутивно (распределительно) т.е. .

7. Если мы имеем два вектора, то .

8. Умножение вектора на 1 его не изменяет .

Вектор, противоположный вектору обозначается . . Вычитание можно представить или

Если нам надо разделить вектор на α, то мы его множим на .

Применяя линейные операции (сложение, умножение) мы можем составлять суммы векторов, умноженных на числа: .

Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов.

Числа α₁, α₂,….α_n называются коэффициентами.

Линейные комбинации обладают такими очевидными свойствами: если векторы коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна (т.к. вектора остаются параллельными).

Если векторы компланарны, то любая их линейная комбинация с ними компланарна.

Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть мы имеем векторы . Если один из этих векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов, то эти векторы называются линейно- зависимыми , т.е. . А если два линейно-зависимых вектора, то или .

Векторы называются линейно-независимыми, если их линейная комбинация только при . Для линейно-независимых векторов нельзя представить один из них в виде линейной комбинации других, т.е.

Система n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве

называется базисом этого пространства. Если на плоскости (в 2-мерном пространстве) базисом будут два (не коллинеарных) вектора, то в пространстве базисом будут 3 некомпланарных вектора и.т.д.

Пусть в общем случае векторы и образуют базис n-мерного линейного пространства (т.е. имеет n линейно независимых векторов). Если мы добавим вектор в этом же пространстве, то получим линейно зависимую систему, т.е.

(1)

Причем некоторые из них отличны от нуля и обязательно , в противном случае бы

и , что противоречит определению линейной независимой системы. Поэтому . Т.е. (2)