Исследование функций при помощи производной.

Возрастание и убывание функции.

Теорема 1 (необходимое условие).Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то () для любого .

Геометрически теорема означает, что касательная к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с осью Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох.

Теорема 2 (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале и () для любого , то функция возрастает (убывает) на интервале .

Пример: исследовать функцию на возрастание, убывание.

знак производной «+» на интервалах , следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

знак производной «–» на интервале (-1; 1), следовательно, функция здесь убывает.

Максимум и минимум функций.

Точка называется точкой максимума функции , если значение является наибольшим в некоторой окрестности этой точки.

Точка называется точкой минимума функции , если значение является наименьшим в некоторой окрестности этой точки.

На рисунке -точка максимума, - точка минимума.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Теорема (Ферма – необходимое условие экстремума). Если - точка экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю , либо не существует.

Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику параллельна оси Ох.

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производных, например, . В точке х=0 функция не имеет производной, но х=0 точка минимума.

Точки области определения функции , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

В силу теоремы Ферма экстремумы функции находятся среди ее критических точек.

Теорема (Первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой δ-окрестности критической точки и при переходе (слева направо) через нее производная меняет знак с (+) на (–), то точка является точкой максимума; если с (–) на (+), то точкой минимума; если знака не меняет, то экстремума нет.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если в точке производная равна нулю , а вторая производная существует и отлична от нуля, то при - точка минимума; при - точка максимума.

Из теорем вытекает правило исследования функции на экстремум:

1. найти критические точки функции . Для этого решить уравнение ;

2. выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных точек;

4. вычислить значение функции в выбранных точках.

Пример. Найти экстремум функции

1. область определения функции ;

2. , производная равна нулю в точке х=8 и не существует в точке х=0. Критические точки 0 и 8.

3. Определяем знак производной в интервалах .

Точка х=0 – точка максимума, х=8 – минимума.

, .