Перемножение матриц

Перемножим вначале матрицу А = (3 -5 4) на матрицу столбец . Найдем результирующую матрицу С = АВ. Для этого надо элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и сложить . Теперь найдем произведение более сложных матриц АВ.

Найдем

Таким образом , а теперь перемножим . В этом случае

В этом случае . Т.е. . Такие матрицы называются неперестановочными. Если же , то матрицы А и В называются перестановочными.

Найдем теперь . Умножаем поочереди строки матрицы А на столбцы В.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее распространенных методов решений систем линейных уравнений есть метод последовательного исключения неизвестных. Он предложен К. Гауссом и основан на элементарных преобразованиях системы уравнений. Рассмотрим его на примерах.

1)

Исключим из 2-го и 3-го уравнений «х». Для этого из 2-ой строки отнимем первую, умноженную на 3. А из 4-ой строки тоже отнимем первую, умноженную на 4.

Мы получили ступенчатую или трапециеподобную систему. Начинаем ее решение снизу

Проверка:

На практике приводят к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу (т.е. с присоединением столбца из свободных членов). Вычитание строк матриц равнозначно вычитанию уравнений.

Пример 2

Начинаем решение с последнего уравнения

;

Проверка: .

Пример 3

Отсюда получаем

Проверка:

Нередко при преобразовании строк отпадает необходимость преобразовывать последнюю строку. При этом во второй строке получаем одно уравнение с одним неизвестным.

Пример 4

В таких случаях начинаем со 2-ой строки .

Далее

Проверка:

Во всех рассмотренных случаях система имела единственное решение, так как в системе всегда получалось одно уравнение с одним неизвестным.

В случае неопределенной системы, в которой число неизвестных больше числа уравнений (т.е. когда получаем бесконечное количество решений) последнее уравнение всегда включает больше одного неизвестного.

Например

Здесь мы имеем два уравнения и три неизвестных. Поэтому данная система имеет бесконечное число решений.

Иногда в решении методом Гаусса мы получаем хотя бы одно уравнение типа . Это означает, что в этом уравнении все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а правая часть ≠ 0. Такая система несовместна, т.е. не имеет решений.

Например

в результате получаем 3 уравнения

Из последнего уравнения следует, что система несовместна, т.е. не имеет решений.

Решение систем 3-х уравнений с 3-мя неизвестными с помощью формул Крамера

Вспомним, что если мы имеем определитель

, то

Теперь рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z.

(1) Здесь a_i, b_i, c_i – постоянные величины. d_i – свободный член.

Пусть определитель этой системы не равен нулю

. Умножим вначале первое из уравнений (1) на А₁, второе на А₂ и третье на А₃ и сложим их

Отсюда находим

В числителе мы получим определитель в котором первый столбец с элементами а_i заменяем на столбец из свободных членов

Теперь умножим 1-е уравнение системы (1) на В₁, второе на В₂ и третье на В₃ и сложим

Правую часть этого уравнения можно записать, заменив в определителе столбец b_i на столбец d_i

. Тогда или (3)

Теперь умножим три уравнения системы (1) на С₁, С₂ и С₃

(4)

Например:

В начале вычисляем

Теперь определяем , путем замены первого столбца столбцом свободных членов

Теперь вычисляем

Находим

После этого вычисляем

Проверка и.т.д.

Рассмотрим другой пример

находим теперь ;

;

Проверка:

Теперь предположим, что мы имеем систему четырех уравнений

Сначала находим определители

Если , то

Аналогично решается система с 5 уравнениями и.т.д.