Дифференцирование неявно заданной функции.

Опр. Если функция задана уравнением разрешенным относительно у, то говорят, что функция задана в явном виде (явная функция).

Опр. Функция, заданная в виде уравнения , не разрешенная относительно у, называется неявно заданной.

Например: , .

Всякую явно заданную функцию можно записать как неявно заданную уравнением , но не наоборот. Не всегда легко, а иногда невозможно разрешить уравнение относительно у. Например, или .

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у. Достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х (), и полученное затем уравнение разрешить относительно . Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример: . Найти.

Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений: , где t - вспомогательная переменная, называемая параметром. Пример: 1) - окружность с центром в начале координат и радиусом R.

2) - - эллипс.

Задача: найти производную функции заданной параметрически

Решение: считаем, что и имеют производные и функция имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции . Функцию определяемую параметрическими уравнениями можно рассматривать как сложную функцию , где . По правилу дифференцирования сложной функции . Получили .

Пример: . Найти

Решение:

Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример: . Найти производную.

Прологарифмируем данное выражение.

Дифференцируем по х

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относятся так называемые степенно-показательные функции , где и дифференцируемые функции.

Логарифмируем функцию, получаем .

Дифференцируем: .

Пример: Найти производную функции .

Логарифмируем данную функцию:

Дифференцируем, получаем:

Производные высших порядков.

Производная функции так же является функцией и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается (или ). Т.о. .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается .

и т.д. ……

Производной n–го порядка (или n–й производной) называется производная от производной порядка (n-1) порядка .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках ( или - производная пятого порядка).

Пример: найти производную третьего порядка .

Механический смысл производной 2-го порядка.

Пусть точка М движется прямолинейно по закону . Как уже известно - скорость точки в данный момент времени t.

Пусть в момент времени t скорость точки V, а в момент времени t+∆t скорость равна V+∆V, т.е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V.

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t.

- называется ускорением точки М в данный момент времени t. , но , т.е. вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения.