Непрерывность функций.

Опр.1. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. .

Это равенство означает выполнение трех условий:

1. Функция определена в точке и в её окрестности;

2. функция имеет предел при;

3. предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Дадим ещё одно определение непрерывности функции в точке. Для этого введем понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента х в точке и обозначается . Отсюда .

Разность соответствующих значений функции называется приращением функции или .

Опр.2 . Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. выполняется равенство .

Пример: Исследовать на непрерывность функцию .

Функция определена при всех . Возьмем произвольную точку и дадим ей приращение. Тогда функция также получит приращение:

, т.е. функция непрерывна.

Опр. Функция называется непрерывной в интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Все основные элементарные функции непрерывны в области своего определения. Это позволяет легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

Точки разрыва функции и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции , то в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке .

Например, функция не определена в точке (см. рисунок)

2. Функция определена в точке и ее окрестности, но не существует предела при .

Например, функция определена в точке (), однако в точке имеет разрыв (см. рисунок ), т.к. эта функция не имеет предела при : , а .

3. Функция определена в точке и ее окрестности, существует предел , но этот предел не равен значению функции в точке : .

Например, функция . Здесь - точка разрыва: , а .

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом: а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва; б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции, если, по крайней мере, один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

В рассмотренных выше примерах:

1. для функции , - точка разрыва второго рода;

2. для функции , - точка разрыва первого рода;

3. для функции , является точкой устранимого разрыва. Положив при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.