Основные элементарные функции и их графики.

1. Показательная

2. Логарифмическая функция

3. Степенная функция

4. Тригонометрические функции

5. Обратные тригонометрические функции

Опр. Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

Примеры элементарных функций:

.

Примеры не элементарных функций:

; .

Числовая последовательность.

Опр. Под числовой последовательностью понимается функция , заданная на множестве натуральных чисел N.

Обозначают: .

- первый член последовательности, - второй член последовательности, …, - общий или n–й член последовательности. Чаще всего последовательность задается формулой, которая позволяет вычислить любой член последовательности.

Например: 1) и т.д.

Получаем числовую последовательность 2, 5, 10, 17, …, , …

2)

3) -1, 1, -1, 1 ,-1, ….

Опр. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого . В противном случае – не ограниченной.

Пример: М=1 .

Опр. Последовательность называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство ; убывающей .

Опр. Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу С, то она называется постоянной.

Например, 1, 1, 1, …..

Опр. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого существует такое натуральное число N, что при всех выполняется неравенство . Пишут .

Геометрически: число а называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения , для которых , попадут в -окрестность точки а; чем меньше , тем больше N, но в любом случае в -окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне её может быть лишь конечное их число.

Пример.

Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех выполняется неравенство . Действительно, т.к. , то для выполнения соотношения достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, , то, положив N=6, для всех будем иметь .

Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Пример расходящейся последовательности: ;

Теорема. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Пример: 1) . Последовательность возрастающая (монотонная) и ограниченная . Предел последовательности равен единице .

2) .

Предел функции.

Опр. Пусть – любое действительное число. Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку . В частности, интервал , где , называется - окрестностью точки .

Если то выполняется неравенство или, что то же, . Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в -окрестность точки .

Опр. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают .

Геометрический смысл предела: точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2, ограниченной прямыми . Величина зависит от выбора , т.е. .

Опр. Если функция имеет пределом число , при условии, что х стремится к , оставаясь меньше, чем , то принята запись , число называют односторонним пределом функции слева.

Опр. Если является пределом функции при условии, что х стремится к , оставаясь больше, чем , то называют односторонними пределом функции справа и обозначают .

Для существования предела А функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали в этой точке пределы функции слева и справа и чтобы они были равны между собой .

Пример.

1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,4] следующим образом

Найдем пределы функции f(x) при x→3. Очевидно,

, а , т.е. функция в точке х=3 не имеет двустороннего предела.

Понятие предела функции в бесконечно удаленной точке.

До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.

Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение , начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения x₁= –1, x₂=2, x₃= –3, …, x_n=(–1)ⁿn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина , если при произвольном все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству .

Аналогично, , если при любом .

Будем говорить, что функция стремится к пределу b при , если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначают .

Пример.

Используя определение, доказать, что .

Нужно доказать, что при произвольном ε будет выполняться неравенство , как только , причем число М должно определяться выбором ε. Записанное неравенство эквивалентно следующему , которое будет выполняться, если . Это и значит, что (см. рис.).