Понятие об уравнении плоскости.

Рассмотрим пример. Найти уравнение плоскости, делящей пополам, отрезок между точками А (1; 2; 3) и В (2; -1; 4) и перпендикулярной к нему. Очевидно плоскость это множество точек, равноудаленных от А и В.

Возьмем произвольную точку V (x, y, z), тогда

А уравнение плоскости в общем виде будет

. Здесь x, y и z входят в первой степени.

Если D = 0, то Ах + Ву + Сz = 0 удовлетворяет х = 0; у = 0 и z = 0 т.е. плоскость проходит через начало координат. Если С = 0, то Ах +Ву +D = 0. На плоскости хОу это будет определять прямую, а в пространстве мы будем иметь множество тех точек, которые проектируются на плоскость хОу в точки прямой Ах +Ву +D = 0. Т.е. в пространстве это уравнение определяет плоскость оси z. Если В = 0, то Ах +Сz +D = 0 определяет плоскость оси Оу и By + Cz +D = 0 определяет плоскость оси Ох.

Следовательно, если в уравнении плоскости отсутствует координата z, y или х, то плоскость соответственно осям Oz, Oy, и Ох. Если D = c = 0, то Ах + Ву = 0 определяет оси Оz и проходящую через начала координат, т.е. проходящая через ось Oz. Аналогично Ax + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Оу и уравнение Ву + Cz определяет плоскость, проходящую через ось Ох. Если А = В = 0, то уравнение Cz + D = 0 плоскость хОу; Ву + В = 0 иАх +D = 0 определяют уравнение плоскостей соответственно хОz и yOz. Если Ах = 0, ВУ = 0 и Сz= 0 определяют соответственно плоскости координат yOz, xOz и xOy. Уравнение плоскости в отрезках . Эта плоскость не проходит через начало координат.

Уравнения поверхностей

а) Сфера О₁ ((а, b, с)

если с началом в центре координат, то - это каноническое уравнение сферы.

в) Эллипсоид , то эллипсоид называется трехосным.

- однополостный гиперболоид

- двухполостный гиперболоид

- эллиптический параболоид

Вопросы для самоконтроля

1. Различные системы координат на плоскости (в пространстве). Связь между ними.

2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве (расстояние между дву мя точками, деление отрезка в данном отношении).

3. Задание множеств точек уравнениями и неравенствами. Алгоритм составления уравнения линии. Примеры.

4. Общее уравнение прямой на плоскости. Его исследование.

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Его исследование.

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках.

7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку. Расстояние от точки до прямой.

8. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности, перпендикулярности.

9. Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости.

10. Уравнение плоскости в пространстве (в отрезках, через 3 точки). Расстояние от точки до плоскости.

11. Понятие линейной интерполяции.

12. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Окружность. Каноническое уравнение. Исследование формы.

13. Каноническое уравнение эллипса и его основные соотношения.

14. Гипербола. Каноническое уравнение. Исследование формы.

15. Парабола. Каноническое уравнение. Исследование формы.

16. Преобразование координат. Приведение уравнений кривых 2-го порядка к каноническому виду в простейших случаях.

17. Основные применения кривых 2-го порядка.

18. Простейшие поверхности 2-го порядка.