Fizika - V. F. Dmitriyeva

спостерігач, який перебуває на березі, фіксує початок і кінець світлового

З цієї формули видно, що тривалість того самого процесу різна в системах К і К'. У системі К тривалість процесу більша; отже, він відбувається повільніше, ніж у системі К'. Таким чином, для спостерігача годинник, що рухається, йде повільніше, ніж його власний годинник, що перебуває в спокої, - це явище називається сповільненням часу.

Час, який відлічують за годинником, що рухається разом з тілом, називають власним. Він найкоротший.

Дуже довго не було експериментальних фактів, які б доводили релятивістське сповільнення часу. Тільки в кінці 1930-х років це було експериментально підтверджено в дослідах із збудженням водневими атомами, а пізніше - в процесі вивчення космічних променів, де частинки рухаються з великими швидкостями і сповільнення часу для них досягає помітних значень. Ефект сповільнення було підтверджено в дослідах на визначення середньої тривалості життя мезонів. Мезони, виявлені в космічних променях, є зарядженими або нейтральними частинками, маса яких лежить між масою електрона і масою протона. Наприклад, ц -мезон, маса якого

майже в 200 раз більша від маси електрона, розпадається на електрон, нейтрино і антинейтрино. Цей розпад спостерігали на знімках, добутих у камері Вільсона; він також фіксувався за допомогою лічильників іонізуючого випромінювання. Лічильники вимірюють середній час життя \і -ме- зона, який перебуває в спокої. Для цього ц -мезони спиняють у спеціальному металевому блоці. За допомогою лічильників можна зареєструвати час влучання ц -мезона в блок і час виходу електрона, який виникає внаслідок розпаду. Досліди показують, що середній час життя \і -мезона, що перебуває в спокої, т0 «2,2-Ю-6 с. У верхніх шарах атмосфери ц -мезони рухаються з середньою швидкістю, близькою до швидкості світла, і до

520

свого розпаду проходять багато кілометрів; отже, середній час життя рухомих мезонів значно більший від середнього часу жиггя тих, що перебувають у спокої. Припустимо, що ц -мезон рухається із швидкістю світла, годі середньому часу життя т0 , що вимірюється в його власній системі відліку, відповідає шлях 50 ~ст0 =3-108 м/с-2-1СГ6 с«600 м. У будьякій іншій системі відліку цей час збільшується, і в експериментах з космічними променями йому відповідає середній шлях до розпаду порядку 5 км. Дані дослідів підтверджують, що мезони, які рухаються, живуть довше, ніж ті, що перебувають у спокої. Отже, чим швидше рухається мезон відносно Землі, тим більший час його життя за земним годинником.

Поняття про ефект Доплера

З акустики відомо, що

при відносному русі джерела і приймача звукових сигналів змінюється частота звукових коливань, що сприймаються.

Цей ефект, передбачений X. Доплером (1845) для акустичних хвиль, пояснюється з позицій класичної фізики. Ефект Доплера в оптичному діапазоні вперше спостерігав А. Фізо, який помітив зміщення спектральних ліній у випромінюванні небесних тіл. Ефект Доплера в оптичному діапазоні однозначно визначається релятивістським ефектом сповільнення годинників.

Внаслідок зміни реєстрованої частоти зміщуються спектральні лінії відносно їх нормального положення. Якщо джерело світла і приймач зближуються, то лінії зміщені до фіолетового кінця (фіолетове зміщення), якщо віддаляються - до червоного (червоне зміщення). Ефект Доплера дає можливість визначити швидкості наближення або віддалення різних небесних тіл. Доплерівське тлумачення червоного зміщення веде до уявлення про те, що тепер

метагалактика розширюється і окремі галактики віддаляються одна від одної.

§ 217. Релятивістський закон додавання швидкостей

У класичній механіці закон додавання швидкостей має вигляд [див. (22.5), (22.6)]

ц' = о. ± V,

де її і и' - відповідно швидкості тіла в інерціальних системах відліку К і відносна швидкість руху цих систем. Покажемо, що він не є прав-

521

дивим при русі із швидкостями, близькими до швидкості світла. Нехай спостерігач, який перебуває на космічному кораблі, що рухається із швидкістю V відносно Землі, посилає світловий сигнал у напрямі свого руху (рис. 22.6). За класичним законом додавання швидкостей, швидкість світлового сигналу для спостерігача,

який перебуває на Землі, має дорівнювати с + V, що суперечить другому постулату Ейнштейна. Отже, новим уявленням про простір і час має відповідати і новий закон додавання швидкостей. Закон додавання швидкостей у релятивістській механіці є наслідком перетворень Лоренца.

Нехай швидкість у напрямлена вздовж осі Х(Х'). У системі К' вздовж осі X' рухається точка М із швидкістю іїх =(1x7сі/'. Щоб знайти швидкість их = Ах! & цієї точки в системі К, треба записати співвідношення, яке пов'язує их і их. З перетворень Лоренца маємо

Поділивши чисельник і знаменник правої частини цього співвідношення на йґ, дістанемо релятивістський закон додавання швидкостей:

Повернемось до прикладу, розглянутого на початку параграфа (рис. 22.6). Згідно з (22 Л 2), швидкість світлового сигналу для спостерігача, що перебуває на Землі,

Цей результат відповідає принципу сталості швидкості світла:

при додаванні будь-яких швидкостей результат не перевищує швидкості світла у вакуумі, ш саме світло поширюється з однаковою швидкістю с з точки зору будь-якого спостерігача.

522

Легко переконатися, що у випадку руху з малими швидкостями (их <с, V <с) формула (22Л2) перетворюється в класичний закон додавання швидкості.

§ 218. Поняття релятивістської динаміки - маса, імпульс

Із спеціальної теорії відносності випливають два важливих висновки. Ці висновки стосуються взаємозв'язку між масою й енергією та масою і швидкістю. До Ейнштейна інертну масу розглядали як величину сталу. Але в 1901 р. фізики-експериментатори встановили, що маса електронів, які швидко рухаються, зростає при збільшенні швидкості. Поки швидкість частинки, яка рухається, мала порівняно із швидкістю світла, маса практично не зростає. Тому в класичній механіці, де вивчають малі швидкості великих тіл, зростання маси не було помічене.

За теорією відносності,

маса того самого тіла мас різні значення залежно від швидкості його руху і від вибору системи відліку, в якій її вимірюють.

Залежність маси т тіла, яке рухається, від швидкості V руху виражається такою формулою:

де т0 - маса спокою, тобто маса тіла в системі відліку, відносно якої во- но перебуває в спокої.

При V < с релятивістська маса т прямує до ш0. Графік залежності маси від швидкості подано на рис. 22.7.

Як у класичній механіці, так і в релятивістській маса - міра

523

Увакуумі фотони завжди рухаються із швидкістю, що дорівнює швидкості світла.

Укласичній фізиці імпульс визначається р -ми,

де т - маса тіла; V - швидкість його руху. Але маса рухомого тіла залежить від швидкості [див. (20.14)],

Крива 1 на рис. 22.8 характеризує залежність імпульсу від швидкості світла. Як випливає з формули (22.15), при швидкостях руху V , малих порівняно з с, імпульс визначають за класичною формулою р = т0і> (крива 2), тобто

графіки, які зображають релятивістський і класичний імпульси, збігаються. При швидкостях руху, порівнянних з с, релятивістський і класичний

імпульси не збігаються. Значення релятивістського імпульсу прямує до нескінченності. Слід зазначити, що для замкненої системи і в релятивістській динаміці справджується закон збереження імпульсу. Саме користуючись законом збереження імпульсу і теоремою додавання швидкостей, і виводять формулу (22.14), яка визначає залежність маси від швидкості.

§ 219. Закон взаємозв'язку маси й енергії. Зв'язок між імпульсом та енергією тіла

Зміна швидкості V в релятивістській механіці зумовлює зміну маси гп, а отже, і повної енергії Е, тобто між масою й енергією існує взаємозв'язок. Цей взаємозв'язок установив Ейнштейн:

Е = тс2,

або

З(22.16) випливає, що будь-якій масі (рухомій т або тій, що перебуває

успокої, т0) відповідає певне значення енергії, Якщо тіло перебуває в стані спокою, то його енергія спокою визначається співвідношенням

Енергія спокою є внутрішньою енергією тіла.

Внутрішня енергія тіла складається з кінетичної енергії всіх частинок відносно центра мас, потенціальної енергії їх взаємодії і суми енергій спокою всіх частинок.

524

У релятивістській механіці закон збереження маси спокою не справджується.

Саме на цьому уявленні ґрунтується пояснення дефекту маси ядра (див. § 247) і ядерних реакцій. Дефект маси полягає в тому, що

сума мас спокою окремих складових частинок ядра атома більша від маси спокою самого ядра.

У теорії відносності є правдивим закон збереження релятивістської маси й енергії:

зміна повної енергії тіла (або системи) ДЕ супроводиться еквівалентною зміною її маси (Дш)

Маса тіла, яка в нерелятивістській механіці виступає як міра інертності (перший закон Ньютона) або міра гравітації (закон всесвітнього тяжіння), в релятивістській механіці означає ще енерговміст тіла.

Фізичний зміст формули (22.18) такий:

існує принципова можливість переходу матеріальних об'єктів, які мають масу спокою, в електромагнітне випромінювання, що не має маси спокою, при цьому виконується закон збереження енергії.

Класичним прикладом цього є анігіляція електрон-позитронної пари і, навпаки, утворення пари електрон - позитрон із квантів електромагнітного випромінювання:

е+ + е" т± 2Нх>.

Кінетична енергія; Зв'язок імпульсу тіла з енергією

У релятивістській динаміці значення кінетичної енергії Ек визначається як різниця енергій Е - рухомого тіла і Е0 - тіла, яке перебуває в спокої:

При V с рівняння (19.19) переходить у класичний вираз

Ек=т0У2/ 2.

Раніше було показано, що імпульс (22.15) і енергія (22.16) будь-якого тіла залежать від швидкості його руху. Знайдемо співвідношення, яке пов'язує імпульс тіла з енергією, для цього піднесемо до квадрата рівність (22.16):

525

Вираз{е2 -с2р2^ інваріантний: у всіх системах відліку його значення

однакове і дорівнює Е\.

Розглянемо випадок, коли маса спокою тіла (частинки) дорівнює нулю. ІІри цьому

З формули (22.21) випливає, що тіло, маючи масу спокою, яка дорівнює нулю, може мати відмінні від нуля енергію й імпульс тільки тоді, коли воно рухається із швидкістю світла. До таких частинок належать фотони. Отже,

твердження, що жодне тіло не може рухатись із швидкістю світла, застосовне тільки до тіл з масою снокою, яка відмінна від нуля.

На закінчення цієї глави слід зазначити, що майже через 80 років після створення теорії відносності немає ніяких експериментальних даних, які хоча б непрямо ставили цю теорію під сумнів, і, навпаки, висновки теорії відносності мають надійні дослідні підтвердження. Наприклад, рух заряджених частинок у прискорювачах визначають за рівняннями релятивістської динаміки. Успішна робота прискорювачів - доказ правдивості цих рівнянь. Робота атомних електростанцій - ілюстрація правильності твердження теорії відносності про існування енергії спокою. Співвідношення між масою і енергією є основним способом розрахунку енергії зв'язку атомних ядер і дає правильні результати.

Короткі висновки

•Спеціальна теорія відносності - це нове вчення про простір і час, яке змінило старі (класичні) уявлення.

•В основу теорії відносності покладено положення, за яким жодна енергія, жодний сигнал не може поширюватися із швидкістю, що перевищує швидкість світла у вакуумі, а швидкість світла у вакуумі стала і не залежить від напряму поширення. Це положення формулюють у вигляді двох постулатів: принципу відносності та принципу сталості швидкості світла.

526

Згідно З теорією відносності, одночасність подій, відстані і проміжки часу є не абсолютними, а відносними.

Із спеціальної теорії відносності випливають два важливі наслідки. Вони визначають взаємозв'язок між масою і швидкістю, масою і енергією. Залежність маси рухомого тіла від швидкості руху

Як у класичній механіці, так. і в релягшвістській маса - це міра інертності. Релятивістський імпульс тіла

т0ь

Зміна швидкості в релятивістській механіці спричинює зміну маси, а отже, і повної енергії:

Е = тс\ або £ =

УІ\"У2/С2

Якщо тіло перебуває в стані спокою, то його енергія

Е0 - т0с\

Енергія спокою - це внутрішня енергія тіла, У теорії відносності є слушним закон збереження релятивістської маси

і енергії: зміна повної енергії тіла (або системи) супроводиться еквівалентною зміною його маси:

АЕ = Атс2.

Фізичне значення цього співвідношення таке: існує принципова можливість переходу матеріальних об'єктів, що мають масу спокою, в електромагнітне випромінювання, яке не має маси спокою, при цьому виконується закон збереження енергії. Класичним прикладом цього є анігіляція електрон-позитронної пари і, навпаки, утворення пари елект- рон-позитрок із квантів електромагнітного випромінювання. Це співвідношення - найважливіше для ядерної фізики і фізики елементарних частинок..

Запитання для самоконтролю і повторення

!, Що називають системою відліку? 2. Які системи відліку називають інерціальними? 3. Чим відрізняється принцип відносності Галілея від принципу відносності Ейнштейна? 4, 3 перетворень Галілея виведіть класичний закон додавання швидкостей. 5. Напишіть релятивістський закон додавання швидкостей. б. Як ви розумієте відносність одночасності подій? відстані і проміжків часу? 7. Як маса рухомого тіла залежить від швидкості? 8. За якою формулою визначають релятивістський імпульс тіла? 9. Що таке енергія спокою? 10. Сформулюйте закон збереження релятивістської маси й енергії.

527

Приклади розв'язування задач

Задача 1. Іонізований атом, вилетівши з прискорювача із швидкістю 0,89 с, випустив фотон у напрямі свого руху. Визначити швидкість фотона відносно прискорювача.

Дано: и = 0,89 с. Знайти: и.

Розв'язання. Запишемо формулу (22.12) релятивістського закону додавання швидкостей:

Швидкість фотона у власній системі координат і відносно прискорювача однакова і дорівнює швидкості світла.

Задача 2. Протон рухається із швидкістю 0,7 с. Знайти його імпульс і кінетичну енергію.

Дано: т0 = 1,67-10~27 кг; і; = 0,7 с; с = 3-108 м/с. Знайти: р, Ек.

Розв'язання. Запишемо вираз (22.15) для релятивістського імпульсу і вра-

Аналогічно за формулою (19.19) обчислимо кінетичну енергію протона:

Задачі для самостійного розв'язування

1. З якою швидкістю має рухатися стрижень, щоб його розміри в напрямі руху скоротились у три рази? Чому дорівнює відносне скорочення довжини стрижня?