Р О З Д І Л 6
О С Н О В И СПЕЦІАЛЬНОЇ Т Е О Р І Ї ВІДНОСНОСТІ
У розділі розглянуто основи спеціальної теорії відносності, створеної А. Ейнштейном (1905). Ця теорія радикально змінила наші основні уявлення про простір, час, матерію і рух.
Виклад матеріалу розпочнемо з ньютонівських уявлень про простір і час, які лежать в основі класичної (дорелятивістської) фізики.
ГЛАВА 2 2
ОСНОВИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ
§ 210. Принцип відносності у фізиці
Система відліку
Для описування механічного руху треба взяти тіло (або систему тіл) і розглядати відносно нього рух. Положення рухомої точки М (або тіла) звичайно розглядають у декартовій системі координат, у певний момент часу воно визначається трьома просторовими координатами (х, у, і) (рис. 22.1) або радіусом-вектором г .
Для визначення швидкості якої-небудь рухомої точки не досить знати тільки її координати, треба мати ще й годинник. Як годинник можна використати будь-який періодичний процес, що дає масштаб часу. Сукупність декартової системи координат, пов'язаної з певними тілами відліку,
і годинника |
називають системою відліку (рис. 22.1). У принципі таких |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
систем може бути безліч. Але найзручнішою для |
|
|
У |
|
У |
|
|
|
|
1 |
|
описування механічних явищ є така система від- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ / |
|
|
|
|
/ |
/і |
|
ліку, в якій закони механіки мають найпрості- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
ший вигляд. |
|
|
|
|
7 / |
|
|
|
|
|
|
Припустимо, що є така система відліку, в якій |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прискорення матеріальної точки зумовлене тіль- |
|
|
0 |
|
|
|
|
• л |
|
ки взаємодією її з іншими тілами. Якщо в цій |
|
|
|
|
|
|
|
системі відліку на матеріальну точку не діють |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
// |
|
|
|
^/ / |
/ |
* |
X |
|
|
|
|
|
інші тіла, то вона рухається відносно даної сис- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теми відліку прямолінійно і рівномірно, або, як |
|
|
|
|
Рис. 22.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кажуть, за інерцією. Таку систему відліку иази- |
мають інерціальною. існування інерціальних систем відліку підтверджу- « ться численними дослідами. Перший і другий закони Ньютона виконуються не в будь-яких системах відліку, а тільки в інерціальних. У першому наближенні систему, пов'язану з поверхнею Землі, можна взяти за шерціаяьну, кроте внаслідок обертання Землі це припущення не ділком обгрунтоване.. За інерціальну систему відліку взято геліоцентричну систему, пов'язану з Сонцем і віддаленими "нерухомими" зорями, але, точно кажучи, і вона не є інерціальною, оскільки Сонце рухається навколо центра Галактики. Питання про те, чи с: взята система відліку інерціальною, розв'язують на основі експерименту» Якщо в межах точності вимірювання и даній системі відліку закони Ньютона виконуються, то її можна вважати інерціальною.
Принцип ВІДНОСНОСТІ
Г. Галілей установив:
всі механічні явища в різних інерціальних системах, відбуваються однаково, тобто жодними механічними дослідами, які виконують "усередині" дано! інерціальної системи, не можна встановити, перебуває дана система в спокої або рухається прямолінійно і рівномірно» Це положення називають принципом відносності Галілей. Принцип відносності Галілея є узагальненням численних дослідів. За принципом Галілея, всі системи відліку, які відносно інерціально рухаються рівномірно і прямолінійно, також інерціаяьні. Систему, яка рухається прискорено відносно інерціальної, і іазивають неінерціальною.
§ 211. Перетворення Галілея
Перетворення' Галілея
Для тих випадків, коли рух тіла треба описати в іншій системі відліку, знайдемо формули перетворення координат при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої. Припустимо, що інерціальна система К' рухається зі швидкістю V уздовж осі Ох відносно іншої інеріпальної системи К (рис. 22.2). Для спрощення припустимо, що осі координат систем К і К' у початковий момент часу і = ґ = 0 збіглися. Припустимо, що матеріальна точка М перебуває у спокої відносно системи К. її положення в системі К характеризується радіусом-вектором г або координатами х, у, г. Відносно системи К' ця точка рухається і її положення в системі К' характеризується радіусом-вектором г або коорди-
к |
к |
У\К' |
|
м |
патами |
х\ у\ |
Перебіг |
часу в |
|
|
|
|
|
обох |
інерціальних |
системах |
відліку |
|
|
Л |
|
|
|
|
Ту |
|
|
К |
і |
К' |
однаковий, годинники син- |
Оі у-і |
0'¥ |
і* |
4. |
хг хронізовані, тобто І = |
|
. / |
|
|
/ |
X |
Зв'язок між радіусами-векторами |
|
|
|
|
|
г' |
і |
г тієї самої точки М у системах |
|
|
|
|
|
/ /_ |
|
|
|
|
|
|
К |
і |
К' |
має вигляд (рис. 22.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 22.2 |
|
|
|
|
|
Г =г~УЛ |
(22.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Співвідношення (22.1) можна записати для кожної з декартових коор-
динат. Урахувавши, що І = і', дістанемо |
|
Х' = Х-УІ, у = у', 2 = 2', 1 = 1'. |
(22.2) |
Рівняння (22.2) називають прямими перетвореннями Галілея.
Якщо матеріальна точка М нерухома в системі К', то рівняння її руху в системі К можна записати за допомогою обернених перетворень Галілея:
|
г = г' + у/, |
(22.3) |
Х = Х' + УІ, у = у', 2 = 2', 1 = Ґ. |
(22.4) |
Закон додавання |
швидкостей |
|
при переході від |
однієї інерціальної системи до іншої |
Цей закон можна дістати з перетворень Галілея. Здиферен- |
ціюємо співвідношення (22.1) за часом: |
|
сіг' |
(1г |
(1 , |
ч |
|
— = |
сії |
|
( У / . |
|
йі |
сії4 |
|
Врахуємо, що </г7Л = и' - швидкість руху точки |
М у системі К\ |
йх Ні = и - швидкість руху точки М в нерухомій системі |
К. Дістанемо |
|
и' = и - V. |
(22.5) |
§ 212. Експериментальні основи спеціальної теорії відносності
Фізика Галілея і Ньютона грунтувалась на уявленнях класичної механіки, яка виходила з існування тривимірного простору і часу єдиного для всіх спостерігачів і всіх інерціальних систем відліку. Вона передбачала, що відстань між двома точками простору (довжина відрізка) є
інваріантом, тобто має одне й те саме значення в усіх системах відліку. 'З цих принципів, які здавалися цілком природними і підтверджувались численними дослідами, і випливали перетворення Галілея. Принципи класичної механіки були непорушними до появи електромагнітної теорії Максвелла (див. § 181). Рівняння Максвелла істотно відрізняються від рівнянь класичної механіки і неінваріантні відносно перетворень Галілея. Це означає, іцо коли рівняння Максвелла є слушними в якійсь одній системі координат, то вони не є слушними при переході до іншої, яка рухається відносно першої прямолінійно і рівномірно. Було висловлено гіпотезу про існування деякого середовища, яке заповнює Всесвіт, такого, що рівняння Максвелла є правдивими тільки в одній, пов'язаній з цим середовищем системі відліку. Саме з цим середовищем послідовники Максвелла асоціювали поняття ефіру.
Гіпотеза про те, що весь світовий простір заповнений ефіром - носієм світлових хвиль, належить Р. Декарту. Електричні і магнітні явища також намагались пояснити за допомогою пружних напруг в ефірі. Уявлення про ефір змінювались. Вважали, що для різних галузей явищ існують різні ефіри: світловий, електричний, магнітний тощо. З встановленням зв'язків між різними розділами фізики зміцнювалось уявлення про єдиний ефір, який перебуває у спокої в абсолютному просторі.
Найбільш очевидним способом підтвердження існування ефіру і наявності в нього якихось властивостей мало стати вимірювання швидкості світла в рухомій системі відліку. Такою системою відліку може бути Земля, яка рухається по орбіті навколо Сонця із швидкістю 3-Ю4 м/с, причому напрям руху Землі періодично змінюється із зміною пір року. За класичним законом додавання швидкостей, швидкість світла с\ виміряна в системі відліку, пов'язаній із Землею, має бути
с' = С±У,
де с - швидкість світла відносно ефіру; V - швидкість руху Землі. Знак між с і V залежить від напряму руху Землі і світла. Прецизійні досліди проводили в кінці XIX ст. А. Майкельсон і Е. Морлі. Вони за допомогою інтерферометра вимірювали не саму швидкість світла, а відношення значень швидкостей світла у двох взаємно перпендикулярних напрямах. Ці досліди багато разів повторювали, але з'ясувалося, що швидкість світла в системі відліку, пов'язаній із Землею, в усіх напрямах однакова. Дослід Майкельсона - Морлі став одним з вирішальних дослідів сучасної фізики; його результати суперечили гіпотезі про те, що світло поширюється через ефір. Інші досліди, які мали виявити рух Землі відносно ефіру за допомогою вже не оптичних, а електромагнітних явищ (досліди Траутона і А. Нобеля), давали результати, які узгоджувалися з дослідами Майкельсона і Морлі. Отже, рух Землі ніяк не позначається на швидкості поширення світна і класичний закон додавання швидкостей у цьому разі не виконується.
Усі спроби врятувати гіпотезу про існування ефіру, нарешті, зазнали невдачі»
Дослід Майкельсона - Морлі відіграв вирішальну роль у докорін-
ній зміні наших уявлень про простір і час.
§ 213, Постулати Ейнштейна
Результати дослідів, які проводили Майкельсон, Морлі та інші фізики, не можна було пояснити з точки зору класичної фізики. Суперечність між теорією і практикою пояснив А. Ейнштейн у 1905 р. Він глибоко і критично проаналізував експериментальні методи вимірювання простору і часу. У своїй праці "До електродинаміки рухомих середовищ" Ейнштейн показав, що закони класичної механіки і перетворення Галілея правильні тоді, коли ми маємо справу з невеликими швидкостями руху тіл і вважаємо, що швидкість поширення сигналів нескінченна. Проте, якщо тіла рухаються із швидкостями, близькими до швидкості світла у вакуумі, закони класичної механіки мають бути замінені іншими, загальнішими, які враховують особливості такого руху, тобто законами релятивістської механіки,. В основі цих законів лежать нові уявлення про простір і час.
Перегляд уявлень про властивості простору і часу спричинив створення: на початку XX ст. спеціальної теорії відносності. Термін "спеціальна" підкреслює ту обставину, що ця теорія розглядає явища, які відбуваються тільки в інерціальних системах відліку.
В основі теорії відносності лежить положення, за яким
ніяка енергія, ніякий сигнал не можуть поширюватись із швидкістю, яка перевищує швидкість світла у вакуумі, а швидкість світла у
вакуумі стала і не залежить від напряму поширення.
Це положення формулюють у вигляді двох постулатів: принципу відносності і принципу сталості швидкості світла.
Перший постулат є поширенням механічного принципу відносності Галілея на будь-які фізичні явища і формулюється так:
у будь-якій інерціальній системі будь-які фізичні явища при їх тотожній постановці відбуваються однаково: усі закони природи і рівняння, що їх описують, інваріантні мри переході від однієї інерціаль- ної системи відліку до іншої.
З першого постулату випливає, що ніякими дослідами не можна визначити, чи перебуває дана інерціальна система в спокої, чи рухається прямолінійно і рівномірно, тобто всі інерціальні системи відліку за. своїми фізичними властивостями еквівалентні одна одній.
Другий постулат твердить:
швидкість світла у вакуумі с величиною сталою і однаковою в усіх
інерціальних системах відліку, вона не залежить від руху джерела світла і спостерігача.
Цей постулат важко зрозуміти. Він вимагає, щоб в одному й тому самому експерименті два спостерігачі, які перебувають у двох різних інерціальних системах (що рухаються одна відносно одної), діставали одне й те саме значення швидкості світла у вакуумі. Швидкість світла у вакуумі < максимально можливою швидкістю передавання сигналу. Отже, якщо всі інерціальні системи рівноправні, то й максимальна швидкість передавання сигналу в них має бути однаковою.
§ 214. Відносність одночасності
Згідно з класичними уявленнями про простір і час взаємодії, сигнали можуть миттю передаватись з однієї точки простору в іншу. У механіці Ньютона вважали, що таке поняття, як одночасність події, має гой самий зміст для різних точок простору Всесвіту. З точки зору теорії відносності поняття "абсолютна одночасність" і "абсолютний час" не існують. Неозначеність поняття одночасності стане помітною при виконанні простого досліду, якщо розглядати дуже великі відстані. Розглянемо такий приклад. Нехай космонавт, який перебуває на Землі, запитує у свого товариша, що перебуває на Марсі, що в нього відбувається на "даний момент". Радіосигналам потрібен час, щоб пройти відстань від Землі до Марса і назад, відповідь на задане з Землі запитання прийде не раніше ніж через 10 хв. Тому до моменту надходження відповіді інформація, що міститься в ній, стосуватиметься не того, що відбувається "тепер", а того, що відбувалося, коли сигнал відправлявся з Марса. Отже, ми не зможемо довідатись, що відбувається на Марсі "в даний час". Щоб дізнатися, в який час відбулася дана подія, треба звірити годинник космонавта на Марсі і годинником космонавта на Землі. Отже, постає питання про синхронізацію годинників,
Уповсякденному житті годинники синхронізують, приймаючи сигна-
нн точного часу по радіо. Радіосигнали, які передаються з Москви, приймають міста колишнього СРСР. Знаючи відстань від Москви до міста, де приймають сигнали точного часу, можна обчислити поправку на запізню-
вання сигналу, наприклад, для С.-Петербурга вона становить 0,002 с. І і земних умовах такі поправки неістотні, але коли йдеться про космічні відстані, як у нашому прикладі, вони мають велике значення. Добре відомо, що світло, яке вловлюють телескопи від різних зір, було випромінене ними десятки, сотні, а іноді й мільйони років тому. Синхронізувавши го-
17* 515
динники у певній системі координат, за допомогою якого-небудь методу сигналізації ми визначимо власний час цієї системи координат. Але синхронізовані так годинники будуть такими тільки в одній системі, тобто в тій, в якій їх синхронізували. При цьому не можна ввести жодний час, однаковий для всіх систем координат.
Дві події, наприклад спалахи світла в А і В, вважають одночасними, якщо світловий сигнал, який виходить з А і В, за. той самий час досягає спостерігача О, розміщеного посередині АВ (рис. 22.3). Ці міркування будуть правдиві, якщо система АВ рухається рівномірно й прямолінійно із швидкістю V і спостерігачі в ній на рух можуть не звертати уваги.
При обміні світловими сигналами між спостерігачами, які перебувають |
|
|
|
|
в одній системі, саме це й буває, що |
А |
О |
|
В |
пов'язано з неможливістю визначи- |
|
ти, рухається дана |
система |
прямолі- |
|
0 |
|
|
|
|
|
нійно й рівномірно |
або перебуває в |
|
Рис. 22.3 |
|
|
|
|
|
спокої. Виходячи з попереднього оз- |
|
|
|
|
А' |
0' |
В' |
|
начення одночасності, покажемо, що |
|
|
|
|
при переході від однієї системи від- |
|
|
|
|
ліку до іншої одночасність не збері- |
|
|
|
|
гається. |
|
|
|
|
|
|
|
Розглянемо класичний |
приклад |
|
Рис. 22.4 |
|
|
Ейнштейна, коли вздовж ділянки і |
|
|
|
|
залізничної колії АВ із швидкістю |
V |
рухається |
поїзд А'В' |
(рис. |
22,4). Нехай О' - середина поїзда |
А'В', |
яка |
збігається з серединою О відрізка АВ у той момент, коли з А і В (одночасно для спостерігача О) виходять світлові сигнали. Спостерігач в О я к и й рухається до В, сприймає сигнали, що вийшли з В, з випередженням порівняно з тими, що вийшли з А. Але оскільки єдиним можливим критерієм одночасності є збіг моментів приходу сигналів у точку, яка лежить посередині А'В', то дві події, одночасні для О, не будуть одночасними для О'.
Отже, за теорією Ейнштейна, для кожної з розглядуваних інерціальних систем, що перебувають у відносному русі, існує лише власний час, який показує годинник, що перебуває у спокої в цій системі. Інакше кажучи, не існує абсолютної одночасності.
Час і рух пов'язані один з одним. Якщо поняття часу відносне, то, отже, усувається поняття "абсолютний рух". Абсолютного руху не існує.
Наведені приклади показують, що час не абсолютний, а залежить, як і інші координати, від вибору системи відліку *.
*Час є однорідним. У ньому не можна знайти мить, яка відрізнялася б від інших сама по собі
імогла б стати початком привілейованої системи відліку часу. Однорідність часу веде до того, що під час руху тіла або системи тіл зберігається незмінна енергія.
Математичним завершенням спеціальної теорії відносності стали праці Г. Мінковського, який у 1908 р. у доповіді про простір і час сказав: "Уявлення про простір і час, які я збираюсь розвинути перед Вами, виросли на основі експериментальної фізики. У цьому їх сила. Вони спричинюють радикальні наслідки. Віднині простір сам по собі і час сам по собі повністю відходять у царство тіней, і лише своєрідний союз обох цих понять зберігає самостійне існування".
§ 215. Перетворення Лоренца
Перетворення Галілея виходять з припущення, що годинники синхронізуються за допомогою сигналів, які поширюються миттю. Проте таких сигналів насправді немає.
Існування верхньої межі для швидкості поширення сигналів (с = 3 х
о
хЮ м/с - швидкість світла у вакуумі) зумовило інші формули перетворення, які дають можливість за координатахми і часом довільної події, визначеними в певній інерціальній системі К (тобто за значеннями х, у, 2, і), знайти координати тієї самої події в будь-якій іншій інерціальній системі К\ що рухається відносно К у напрямі осі X прямолінійно й рівномірно
із швидкістю |
V (тобто значення х\ у\ |
|
Ґ): |
|
|
Х-УІ |
|
(22.6) |
|
|
7і -т>2 /с2 |
|
|
|
|
|
|
|
/ = У, |
(22.7) |
|
2' = 2, |
(22.8) |
|
|
1-І (т;/с2)х |
|
|
|
|
(22.9) |
|
|
л/і - V/С1 |
|
|
|
|
|
Формули |
(22.6) - (22.9) називають |
перетвореннями Лоренца. При |
V <^ с перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея (22.2), (22.4), тобто теорія відносності не заперечує перетворень Галілея, а включає їх як окремий випадок, правдивий при малих V .
Далі покажемо, що існує загальний зв'язок між законами класичної і релятивістської механіки:
закони релятивістської механіки переходять у закони класичної механіки у випадку малих швидкостей {%) с).
Формули прямих і обернених перетворень Галілея і Лоренца
Прямі перетворення |
Обернені перетворення |
|
|
|
|
|
|
Галілея |
|
Лоренца |
Галілея |
|
Лоренца |
|
|
|
|
|
|
х' ~ х-VI |
, |
X - VI |
Х = Х' + У(' |
|
х' + VI' |
|
^|\-V2/с2 |
|
4\^2!С2 |
|
|
|
|
у'-у |
|
У=у |
У = / |
|
У=У |
і' -2 |
|
т! -2 |
2-2 |
|
2 = 2' |
|
і-^/с2)х |
|
|
і' + (і>1с2)х' |
|
|
|
І' |
Ґ і |
|
ЛІ] -V2 / С2 |
|
, |
|
|
|
VI-х/2/с2 |
З перетворень Лоренца випливає, що швидкість V не може дорівнювати або бути більшою від швидкості світла с, оскільки підкореневий вираз при V = с перетворюється в нуль, а при V > с від'ємний і перетворення Лоренца втрачають фізичний зміст.
§ 216. Висновки з перетворень Лоренца
Відносність відстаней
Нехай твердий стрижень перебуває у спокої в системі відліку К', яка рухається відносно системи К уздовж осі X із швидкістю V (рис. 22.5). Довжину цього стрижня в системі К можна виміряти, зафіксувавши відстань між його кінцями одночасно за годинником цієї системи (ґ). Згідно з перетвореннями Лоренца, для координат кінців стрижня
в рухомій системі К'(х2, *() маємо:
|
|
|
|
|
•VI |
X, = |
|
VI |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 Г •Vі |
|
|
2 ,Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
IIі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V /С |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х2 |
~іп)~-(х1 |
-VI) |
|
х 2 |
' Х\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 7 |
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
Оскільки |
4 -х[ |
- відстань між почат- |
|
|
|
|
|
|
к |
|
, |
|
|
ком і кінцем стрижня в системі К\ |
від- |
|
К' |
|
|
|
|
т |
*1 |
|
|
носно |
якої |
він перебуває в |
спокої, |
то |
|
|
х; |
|
1 |
|
|
0і |
— |
1 |
|
|
Х^ — / |
власна або довжина спокою |
|
|
І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С'фИЖНЯ. Відповідно х2 |
І |
це |
|
Хг |
|
Х |
Xі |
|
ґ/ |
|
|
|
відстань між початком і кінцем стрижня |
|
|
|
|
|
|
Рис, 22.5 |
|
|
в системі К, відносно якої він рухається. |
|
|
|
|
Підставивши ці позначення в написану вище формулу, дістанемо
^ = - Т = 4 = = = Т ' |
(22.10) |
"У І — V і С |
|
або
/= / 0 л Я - ^ 2 / с 2 .
Звиразу (22.10) випливає, що довжнна стрижня залежить від, швид-
кості його руху V відносно системи відліку.
Якщо V <§с с , то підкореневий вираз прямує до одиниці і / = /0, тобто
при таких швидкостях довжина стрижня в усіх інерціальних системах відліку однакова. Якщо V -» с, то чим більша швидкість руху стрижня відносно якої-небудь системи відліку, тим менша його довжина, виміряна в цій системі. Отже, довжина не є незмінною величиною, а залежить від швидкості руху тіла відносно даної системи відліку. Незмінним є лише твердження про те, ще стрижень, який перебуває в спокої, завжди довший від того, що рухається.
Відносність проміжків часу
У § 214 було показано, що однакові годинники в двох інерціальних системах відліку, які рухаються один відносно одного, йдуть несинхронно. Уявимо собі, що є спостерігач, відносно якого один годинник перебуває в спокої, а другий рухається із сталою швидкістю V. Виникає запитання: який із цих годинників для. спостерігача йтиме швидше, а який - повільніше? Щоб відповісти на це запитання, розглянемо дві системи координат К і К' і скористаємось перетвореннями Лоренца. Під системою К' розуміємо, наприклад, корабель, який рухається із швидкістю V прямолінійно і рівномірно відносно берега. На кораблі перебуває спостерігач, годинник якого нерухомий відносно системи К\ Інший спостерігач і його годинник перебувають на Землі, тобто вони нерухомі відносно берега, який вважатимемо за систему відліку К9 що перебуває в спокої. Протягом проміжку часу ґ2 ~і{ = т' спостерігач, що перебуває на кораблі, надсилає світловий сигнал на берег. Початок світлового сигналу і{ і кінець сигналу і2 він фіксує на своєму годиннику. Для нього початок і кінець світлового сигналу відбулися в одній точці простору, але в різний час: х[ = х2; і\ * Ґ2.
Спостерігач, який перебуває на березі, приймає світловий сигнал протягом проміжку часу т = *2 - І х . Початок і кінець приймання сигналу спостерігач фіксує на своєму годиннику. Оскільки корабель рухається, то
