1.1.3 Перевірка статистичної однорідності сукупності

Перевірку статистичних даних на однорідність виконують у двох випадках :

1) для незалежних вибірок, коли дані зібрані на різних об’єктах або в різні періоди функціонування систем;

2) для залежних вибірок, коли необхідно встановити вплив різних факторів на досліджувану ознаку.

Визначення істотності відмінностей незалежних вибірок.

Розглядаються дві незалежні вибірки, за результатами котрих знаходять оцінки вибіркових середніх і дисперсій. Після цього розраховують значення критеріюt за формулами:

– для великих вибірок (n>30)

; (1.7)

– для малих вибірок

. (1.8)

Для визначення істотності відмінностей двох вибірок із заданою надійною ймовірністю Р_д необхідно порівняти значення t, обчислене за здобутими вибірками, з критичним значенням t_.

Для великої вибірки при визначенні t_ користуються функцією Лапласа Ф(t), аргументом якої є відношення довірчого інтервалу  до середньоквадратичного відхилення , тобто . Для цього задаються довірчою ймовірністю P_д = 0.95. Приймаючи до уваги, що Р_д=Ф(t), за таблицею (додаток Д3) визначають значення t_.

Для малої вибірки значення t_ визначають згідно розподілу Стьюдента (додаток Д4) з числом ступенів свободи k = n₁+n₂ –2. Якщо обчислене значення t>t_, то з надійністю P_д можна вважати відмінності між вибірковими середніми істотними (невипадковими), тобто вибірки вважають неоднорідними. Якщо вибіркове значення менше критичного, то відмінність між вибірковими середніми можна вважати неістотними (випадковими) , із заданою надійністю вибірки вважають однорідними.

У загальному випадку, коли статистична сукупність задана незалежними частковими вибірками об’ємами n₁, n₂, …, n_k з відповідними вибірковими середніми і дисперсіями, перевірку однорідності виконують таким чином: із даної множини вибираються дві часткові вибірки відповідно з максимальним і мінімальним,і для них за формулами (1.7) або (1.8) обчислюється критерійt.

На початковому етапі, коли закон генеральної сукупності невідомий, оцінити розходження двох вибіркових середніх можна тільки приблизно.

Якщо t 3 , то з великою ймовірністю вважають, що середні відрізняються суттєво і, навпаки, якщоt<3 , розходження між з великою ймовірністю можна вважати несуттєвим, випадковим.

Визначення істотності відмінностей залежних вибірок.

Ця перевірка виконується в задачах, пов’язаних з оцінкою впливу тих чи інших факторів на зміну випадкової величини. Для кожного об’єкту спостереження визначають парні спостереження без урахування дії фактора і– з фактором. Оскільки пари зв’язані, то вибірки є залежними. Для зв’язаних пар можна розглядати різницю між спостереженнями у кожній парі (). Оцінка середнього вибіркового значення відмінностей спарених вибірок має вигляд

) , (1.9)

де - середнє значення відмінностей спарених вибірок;

n – число спостережень.

Дисперсія відмінностей спарених вибірок розраховується за формулою

(1.10)

або

, (1.11)

де , (i=1,).

За критерій перевірки обирається статистика

. (1.12)

Табличне значення t_ для великої вибірки визначається за заданим P_д з таблиці функцій розподілу Лапласа, а для малої вибірки – з таблиць t-розподілу Стьюдента за заданим P_д і числом ступенів свободи k = n – 1.

Якщо , то робимо висновок, що в результаті введення фактора відмінність середніх значень перших вибірок істотна, тобто даний фактор впливає на досліджувану ознаку.