Методичні рекомендації_1 (заочники)_new
.pdf4) Пароутворення при t3 = 100°C
|
1 |
Q4 |
Q |
4 |
|
rm |
|
S4 = |
|
∫dQ = |
|
= |
|
(5) |
|
T |
T |
|
T |
||||
|
3 |
0 |
3 |
|
3 |
|
|
Вочевидь, загальна зміна ентропії дорівнює
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
λ |
|
|
|
r |
|
|
|
S = |
S1 + S2 + |
S3 + |
S4 |
|
|
|
|
|
T3 |
|
|
|
|
|||
T |
+ T |
|
+ T |
(6) |
||||||||||||
= m cл ln |
|
+ cв ln T |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|||
Відповідь: S = 88,64 Дж/К.
Приклад №5
Теплова машина має ККД 20%. Яким стане ККД, якщо кількість теплоти, що споживається за цикл, збільшиться на 60%, а кількість теплоти, що віддається холодильнику, зменшиться на 20%?
η = 20% |
|
ККД машини дорівнює: |
|
|||||
|
|
|||||||
QH' |
=1,6QH |
|
|
|
|
QX |
|
|
|
η =1 − QH |
(1) |
||||||
QX' |
= 0,8QX |
|
||||||
|
|
З рівняння (1) знайдемо відношення QX / QH : |
|
|||||
η'−? |
|
|
||||||
|
|
|
|
QX |
=1 −η |
(2) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
QH |
|
|||
Для нового ККД машини можемо записати:
η'=1 − |
QX' |
=1 − |
0,8QX |
=1 − |
0,8 |
(1 −η) |
(3) |
|
QH' |
1,6QH |
1,6 |
||||||
|
|
|
|
|
Відповідь: η’ = 60%.
Задачі контрольного завдання
6.1.Нагрівник теплової машини, яка працює за циклом Карно, має температуру 200°С. Визначити температуру холодильника, якщо при отриманні від нагрівника кількості теплоти 1 Дж машина здійснює роботу 0,4 Дж.
6.2.Знайти зміну ентропії при нагріванні води масою 100 г від температури 0°С до температури 100°С і перетворенні води у пару при цій температурі.
6.3.Визначити зміну ентропії при ізотермічному розширенні кисню масою 10 г від об’єму 25 л до об’єму 100 л.
6.4.Ідеальна теплова машина отримує від нагрівника, температура якого 500 К, за один цикл 3360 Дж теплоти. Знайти кількість теплоти, що віддається за один цикл холодильнику, температура якого 400 К. Знайти роботу машини за один цикл.
6.5.В ідеальній тепловій машині кількість теплоти від нагрівника дорівнює 6,3 кДж. 80% цієї теплоти передається холодильнику. Знайти ККД машини і роботу за один цикл.
6.6.Ідеальний двохатомний газ кількістю 1 моль здійснює цикл, який складається з двох ізохор і двох ізобар. Найменший об’єм 10 л, найбільший 20 л, найменший тиск 246 кПа, найбільший 410 кПа. Знайти ККД циклу.
6.7.Ідеальний двохатомний газ кількістю 1 моль знаходиться під тиском 0,1 МПа при температурі 300 К. Його нагрівають при сталому об’ємі до тиску 0,2 МПа. Після цього газ ізотермічно розширюється до початкового тиску і потім стискується до початкового об’єму. Знайти ККД циклу.
6.8.Ідеальний багатоатомний газ здійснює цикл, що складається з двох ізохор і двох ізобар. Найбільший тиск газу у двічі більший за найменший, а найбільший об’єм у чотири рази більший за найменший. Визначити ККД циклу.
6.9.Ідеальний газ здійснює цикл Карно. Від нагрівника він отримує 4,2 кДж теплоти і здійснює роботу 590 Дж. Знайти ККД циклу. В скільки разів температура нагрівника більша за температуру холодильника?
51
6.10.В результаті ізохорного нагрівання водню масою 1 г тиск газу збільшився у двічі. Визначити зміну ентропії газу.
6.11.Знайти зміну ентропії при ізобаричному розширенні азоту масою 4 г від об’єму 5 л до об’єму 9 л.
6.12.Шматок льоду масою 200 г при температурі -10°С, був нагрітий до температури 0°С і розплавлений. Після цього вода була нагріта до температури 10°С. Визначити зміну ентропії.
6.13.Ідеальна теплова машина здійснює за один цикл роботу 73,5 кДж. Температура нагрівника 100°С, температура холодильника 0°С. Знайти ККД циклу, кількість теплоти, яку отримує машина від нагрівника і кількість теплоти, яку машина віддає холодильнику.
6.14.Ідеальна теплова машина отримує від нагрівника 2,512 кДж теплоти. Температура нагрівника 400 К, температура холодильника 300 К. Знайти роботу, яку здійснює машина за один цикл і кількість теплоти, яка віддається холодильнику.
6.15.Знайти зміну ентропії при перетворенні 1 г води при 0°С у пару при 100°С.
6.16.Знайти зміну ентропії при плавленні 1 кг льоду при 0°С.
6.17.Масу 640 г свинцю при температурі плавлення 327°С вилили на лід (0°С). Знайти зміну ентропії у цьому процесі.
6.18.Знайти зміну ентропії при переході 8 г кисню від об’єму 10 л при температурі 80°С до об’єму 40 л при температурі 300°С.
6.19.Маса 6 г водню розширюється ізобаричне від об’єму V1 до об’єму V2 = 2 V1. Знайти зміну ентропії при цьому розширенні.
6.20.Маса 10 г азоту ізотермічно розширюється від об’єму V1 = 2 л до об’єму V2 = 5 л. Знайти зміну ентропії при цьому процесі.
6.21.Здійснюючи замкнений процес, газ отримав від нагрівника 4 кДж теплоти. Визначити роботу газу при цьому, якщо термічний ККД становить 0,1.
6.22.Ідеальний газ здійснює цикл Карно. Температура нагрівника у тричі більша за температуру холодильника. Нагрівник передав 42 кДж теплоти газу. Яку роботу здійснив газ?
6.23.Ідеальний газ здійснює цикл Карно. Температура холодильника дорівнює 290 К. В скільки разів збільшиться ККД циклу, якщо температура нагрівника збільшиться від
400 К до 600 К?
6.24.Ідеальний газ, що здійснює цикл Карно, 2/3 кількості теплоти, яку отримав від нагрівника, віддає холодильнику. Температура холодильника 280 К. Визначити температуру нагрівника.
6.25.Ідеальний газ здійснює цикл Карно. Температура нагрівника дорівнює 470 К, температура холодильника 280 К. При ізотермічному розширенні газ здійснює роботу 100 Дж. Визначити термічний ККД циклу, а також кількість теплоти, яку газ віддав холодильнику при ізотермічному стисканні.
6.26.Газ здійснює цикл Карно, віддав холодильнику 14 кДж теплоти. Визначити температуру нагрівника, якщо при температурі холодильника 280 К робота дорівнює 6 кДж.
6.27.Водень масою 100 г було ізобаричне нагріто таким чином, що його об’єм збільшився у 3 рази; потім водень було ізохоричне охолоджено таким чином, що тиск зменшився у 3 рази. Знайти зміну ентропії.
6.28.Якою має бути температура нагрівника, щоб при температурі холодильника 27°С ККД ідеальної теплової машини складав 80%?
6.29.Ідеальна теплова машина отримує від нагрівника 10 кДж теплоти, 70% цієї теплоти передається холодильнику. Знайти ККД машини і роботу за один цикл.
6.30.Знайти зміну ентропії при перетворенні 1 г льоду при 0°С у воду при 100°С.
52
Тема 7. Елементи статистичної фізики
Фізичні властивості систем, які побудовані з великої кількості частинок (атомів і молекул), складають предмет вивчення статистичної фізики. Будь-яка макроскопічна система містить величезне число частинок. Наприклад, усього 1 см3 повітря при нормальних умовах містить 2,7 1019 молекул. Тому ясно, що застосування законів динаміки для знаходження мікроскопічних характеристик такої системи є абсолютно безперспективним. Проте, така детальна інформація про систему нам й не потрібна. Для відповіді на багато питань достатньо знати не поведінку окремих молекул, а тільки макроскопічні параметри, які характеризують стан усієї системи. Значення таких макропараметрів визначається не поведінкою окремих молекул, а середнім результатом, до якого приводить їх спільний рух, тобто середніми значеннями мікроскопічних параметрів. Завдання статистичної фізики полягає у тому, щоб встановити зв’язок макроскопічних параметрів системи із середніми значеннями мікроскопічних величин і дати спосіб обчислення цих середніх значень на основі законів руху окремих частинок.
Основні формули і методичні рекомендації
1. Розподіл Больцмана – описує розподіл частинок у силовому полі
n = n0 |
|
− |
U |
|
|
exp |
|
|
(7.1) |
||
|
|||||
|
|
|
kT |
|
|
U– потенціальна енергія (для гравітаційного поля U = mgh ), n – концентрація частинок, n0
–концентрація частинок при U = 0 , k – стала Больцмана, Т – абсолютна температура.
2. Барометрична формула – описує розподіл тиску газу в однорідному полі тяжіння
p = p0 |
|
− |
mgh |
p = p0 |
|
− |
Mgh |
(7.2) |
||
exp |
kT |
; |
exp |
RT |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
р – тиск на висоті h, р0 – тиск на нульовому рівні, m – маса молекули газу, М – молярна маса газу, R – універсальна газова стала.
3. Імовірність
Імовірність того, що фізична величина х, що характеризує молекулу, знаходиться в інтервалі від х до х + dx
dW (x) = f (x)dx |
(7.3) |
де f (x) – функція розподілу молекул по значеннях даної фізичної величини х (густина
імовірності).
Імовірність того, що фізична величина х, що характеризує молекулу, знаходиться в інтервалі від х1 до х2
x2 |
|
W (x)= ∫ f (x)dx |
(7.4) |
x1 |
|
4. Кількість молекул
Кількість молекул, для яких фізична величина х, що характеризує молекулу, знаходиться в інтервалі від х до х + dx
(7.5)
N – загальна кількість молекул.
5.Розподіл Максвела – описує розподіл молекул по швидкостях, описується двома співвідношеннями:
а) число молекул, швидкості яких знаходяться у межах від υ до υ + dυ
|
m 3 / 2 |
|
2 |
|
|
mυ2 |
|
|
|
dN(υ)= Nf (υ)dυ = 4πN |
|
|
υ |
|
exp |
− |
|
dυ |
(7.6) |
|
|
2kT |
|||||||
|
2πkT |
|
|
|
|
|
|
||
53
f (υ)= |
1 dN |
– функція розподілу Максвела, показує частку кількості молекул, швидкості |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
N dυ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
яких знаходяться в інтервалі від υ до υ + dυ , |
N – загальна кількість частинок, |
m – маса |
||||||||
однієї частинки. |
|
|
||||||||
б) число молекул, відносні швидкості яких знаходяться в межах від u до u + du |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dN(u)= Nf (u)du = |
4 Nu 2 exp(−u 2 )du |
(7.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
u = |
υ |
|
– відносна швидкість, яка дорівнює відношенню швидкості υ до найбільш ймовірної |
|||||||
|
||||||||||
υв |
|
|
|
|
(див. формулу (5.7)), f (u) – |
|
|
|||
швидкості υв |
функція розподілу Максвела по |
відносних |
||||||||
швидкостях.
6.Розподіл молекул по імпульсах – дає число молекул, імпульси яких знаходяться в межах від p до p + dp
|
1 3 / 2 |
|
2 |
|
|
p |
|
||
dN(p)= Nf (p)dp = 4πN |
|
|
p |
|
exp |
− |
|
dp |
(7.8) |
|
|
|
|||||||
|
2πmkT |
|
|
|
|
2mkT |
|
||
f (p) – функція розподілу по імпульсах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Розподіл молекул по енергіях – дає число молекул, енергії яких знаходяться в межах від
εдо ε + dε
dN(ε)= Nf (ε)dε = |
2 |
N |
ε |
|
− |
ε |
|
|
|
|
exp |
|
|
(7.9) |
|||
π |
(kT )3 / 2 |
|
||||||
f (ε) – функція розподілу по енергіях. |
|
|
|
kT |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклади розв’язування задач
Приклад № 1
Визначити силу, яка діє на частинку, що знаходиться у зовнішньому однорідному полі сили тяжіння, якщо відношення концентрацій частинок на двох рівнях, які віддалені один від одного на 1 м, дорівнює е = 2,718. Температуру вважати однаковою і рівною 300 К.
n1/n2 = е = 2,718 |
Запишемо розподіл Больцмана для двох різних рівнів h1 і h2: |
||||||||
h = 1 м |
n |
= n |
|
|
− |
|
mgh |
|
|
Т = 300 К |
0 |
exp |
1 |
|
|||||
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
kT |
|
|||
F – ? |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
mgh |
|
|
|
|
n2 |
= n0 |
− |
|
|
||||
|
exp |
|
2 |
|
|
||||
|
|
kT |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розділимо перше рівняння на друге
n1 = exp mg(h2 − h1 ) n2 kT
Логарифмуємо обидві частини рівняння (3)
|
|
|
mg(h2 − h1 ) |
|
|
mg h |
|
F h |
||||||
n1 |
|
= |
= |
|
= |
|||||||||
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
kT |
|
|
kT |
kT |
|||||||||
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отже, для сили, яка діє на частинку, маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
kT ln |
|
|
|
||||||
|
|
|
F = mg = |
|
|
|
n2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
54
[F ]= |
Дж/ К К |
= |
Н м |
= Н |
|
м |
м |
||||
|
|
|
Відповідь: F = 4,14 10-21 Н.
Приклад № 2
Барометр у кабіні літака весь час показує тиск 80 кПа, завдяки чому пілот вважає висоту польоту незмінною. Однак температура повітря змінилася на 1 К. Якої похибки h у визначенні висоти припускається пілот? Вважати, що температура не залежить від висоти і у поверхні Землі тиск 100 кПа.
р = 80 кПа |
Оскільки за умовою задачі барометр показує однаковий тиск при дещо |
||||||||||||||||||
Т = 1 К |
різних температурах Т1 і Т2, то можемо записати |
|
|||||||||||||||||
р0 = 100 кПа |
|
|
|
|
Mgh1 |
|
|
|
|
|
Mgh2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
М = 29 г/моль |
|
p = |
p0 exp − |
|
|
|
|
|
= p0 |
exp − |
|
|
|
|
|
(1) |
|||
|
|
RT |
|
RT |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
h – ? |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
З рівності (1) слідує рівність показників експонент |
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
− |
Mgh1 |
= − |
Mgh2 |
|
|
h1 |
= |
h2 |
h2 |
= |
h1T2 |
|
|
(2) |
||||
|
RT1 |
RT2 |
|
|
T2 |
T1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Очевидно, що кінцеві та початкові значення температури і висоти зв’язані між собою співвідношеннями
|
T2 = T1 + T; h2 |
= h1 + h |
|
|
|
(3) |
||
Підставляємо рівняння (3) в останнє рівняння (2). В результаті отримаємо |
|
|||||||
h + h = |
h1 (T1 + T ) |
|
h = |
T |
h1 |
|
(4) |
|
|
|
|||||||
1 |
|
T1 |
|
|
T1 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
Для успішного застосування останнього рівняння необхідно знати відношення h1/T1. Для цього знов застосуємо барометричну формулу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mgh1 |
|
|
|||||
p = p0 |
|
|
|
|
− |
|
(5) |
||||||||||
exp |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
RT |
|
|||||||||||||||
Розв’язок рівняння (5) відносно h1/T1 дає |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
h |
|
R |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
= |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
(6) |
|||||
|
T |
Mg |
p |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Підстановка рівняння (6) у формулу (4) дає остаточний результат |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
p |
0 |
|
|
|||
h = |
|
T |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
(7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Mg |
|
|
|
|
p |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
[ h]= |
К Дж/(моль К) |
= |
Дж с2 |
= |
кг м2 / с2 с2 |
= м |
||
кг/ моль м/ с2 |
|
кг м |
кг м |
|||||
|
|
|
|
|||||
Відповідь: h = 6,52 м.
Приклад № 3
Знайти найбільш ймовірну швидкість, яка відповідає максимуму функції розподілу Максвела.
Функція розподілу Максвела
|
m |
3 / 2 |
|
|
|
mυ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
f (υ)= 4π |
|
|
υ |
|
− |
|
|
(1) |
||
|
|
exp |
2kT |
|
||||||
|
2πkT |
|
|
|
|
|
|
|||
має типовий дзвіноподібний вигляд з одним максимумом, як це показано на рис.7.1 (по осі ординат відкладена функція Максвела, по горизонтальній осі відношення швидкості
55
молекули до найбільш ймовірної швидкості |
|
|||
молекули). |
|
|
|
|
|
|
|
T1 <T2 <T3 |
|
На рис. 7.1 показані функції Максвела для |
||||
трьох різних температур газу. Зі |
|
|||
|
||||
збільшенням |
температури |
криві |
стають |
|
нижчими у максимумі, ширшими, а |
|
|||
положення |
максимуму |
функції |
f (υ) |
|
зміщується у бік більших швидкостей. |
|
|||
Положення |
цього максимуму |
неважко |
|
|
знайти, якщо диференціювати функцію (1) |
|
|||
по швидкості і похідну прирівняти нулю: |
|
||||
|
df (υ) |
= 0 |
(2) |
Рис. 7.1. |
|
|
dυ |
|
|
||
|
|
|
|
||
Для успішного взяття похідної (2) пригадаємо правила диференціювання добутку двох функцій, а також похідну від експоненти:
|
|
|
|
|
d(uv) = v |
du |
+u |
dv |
|
; |
|
d (e−kx2 ) |
= −2kxe−kx2 |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Застосовуючи правила (3), отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
df (υ) |
|
m |
3 / 2 |
mυ |
|
|
|
|
|
|
mυ |
2 |
|
2 |
|
|
mυ |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= 4π |
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= 0 |
(4) |
||||||
|
|
dυ |
|
|
kT |
exp |
|
2kT |
υ |
|
+ 2υ exp |
2kT |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2πkT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Рівняння (4) приводиться до вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mυ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ 2 − |
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язки цього рівняння наступні: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
υ1 |
|
= 0; υ2,3 |
= ± |
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тривіальний та від’ємний корені відкидаємо, отже відповідь є наступною |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υв = |
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[υв ]= |
Дж/ К К = |
кг м2 / с2 |
= м/ с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
кг |
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приклад № 4
Застосовуючи функцію розподілу молекул по швидкостях, визначити середню арифметичну швидкість молекул.
За означенням середнє значення будь-якої фізичної величини х у загальному випадку визначається наступним чином
∫xf (x)dx
x = ( ) (1) f x dx
Виходячи з цього для середньої арифметичної швидкості будемо мати
υ |
= |
∞∫υf (υ)dυ |
(2) |
0 |
|||
∞ |
|||
|
|
∫ f (υ)dυ |
|
|
0 |
|
|
Функція розподілу по швидкостях є нормованою на одиницю:
56
|
|
∞∫ f (υ)dυ =1 |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З урахуванням (3) рівняння (2) перепишеться у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
|
m |
3 / 2 ∞ |
|
|
|
mυ |
2 |
|
|
|
||
|
|
= ∫υf (υ)dυ = 4π |
∫υ |
|
|
|
|
||||||||
|
υ |
3 |
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
exp − |
2kT |
|
dυ |
|||||||||
|
|
0 |
|
2πkT |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для взяття останнього інтегралу (4) використаємо відоме табличне співвідношення |
|
||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x3 exp(− ax2 )dx = |
a−2 |
|
|
|
|
|
(5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді для середньої арифметичної швидкості отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
υ |
∞ |
|
m |
3 / 2 1 |
m |
−2 |
= |
|
8kT |
(6) |
||||
|
= ∫υf (υ)dυ = 4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πm |
||||
|
|
0 |
|
2πkT |
2 |
2kT |
|
|
|
|
|
||||
[υ ]= |
Дж/ К К = кг м2 / с2 = м/ с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кг |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад № 5
Визначити частку молекул, енергії яких знаходяться в інтервалі від ε1 = 0 до ε2 = 0,01kT .
ε1 |
= 0 |
Частка молекул за означенням дорівнює |
|
|
|
|||||
ε2 |
= 0,01kT |
|
|
|
ω = |
N |
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ε2 |
|
|
|
|
ω – ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де |
|
N = ∫dN = |
∫Nf (ε)dε |
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|||||||
функція розподілу по енергіях має вигляд |
|
ε1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f (ε)= |
2 |
ε |
|
− |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
(3) |
||
|
|
|
π |
(kT )3 / 2 |
kT |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Перед підстановкою функції (3) під інтеграл (2) використаємо розкладання експоненти у ряд Тейлора:
|
|
|
|
exp(x)≈1 + |
x |
+ |
x2 |
|
+K |
|
|
|
|
(4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Для даної задачі отримаємо |
|
|
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ε |
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
exp − |
|
|
≈1 − |
|
|
|
|
|
≈1 |
|
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
kT |
|
kT |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
оскільки |
<<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З урахуванням (5) і (3) інтеграл (2) запишеться |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ε2 |
|
2N |
|
|
2N |
|
|
2 |
|
3 / 2 |
ε2 |
|
|
4Nε 3 / 2 |
|
||||||
|
|
N = ∫ |
|
3 / 2 εdε = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
= |
|
2 |
(6) |
||
|
|
π |
|
|
|
|
3 / 2 |
3 |
|
|
|
3 / 2 |
|||||||||||
|
|
ε1 |
(kT ) |
|
π (kT ) |
|
|
|
|
ε1 |
3 |
π (kT ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
ω = |
|
4ε23 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
3 |
π (kT )3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Відповідь: ω = 7,52 10-4.
57
Задачі контрольного завдання
7.1.Порошинки у повітрі мають масу 10-18 г. В скільки разів зменшиться їх концентрація при збільшенні висоти на 10 м? Температура повітря 300 К.
7.2.На скільки зменшиться атмосферний тиск 100 кПа при підйомі над поверхнею Землі на висоту 100 м? Вважати, що температура повітря дорівнює 290 К і не змінюється з висотою.
7.3.На якій висоті над поверхнею Землі атмосферний тиск у двічі менший, ніж на її поверхні? Вважати, що температура повітря дорівнює 290 К і не змінюється з висотою.
7.4.Барометр у кабіні гелікоптера показує тиск 90 кПа. На якій висоті летить гелікоптер, якщо на злітному майданчику барометр показує тиск 100 кПа? Вважати, що температура повітря дорівнює 290 К і не змінюється з висотою.
7.5.Знайти зміну висоти, яке відповідає зміні тиску на 100 Па у двох випадках: а) поблизу поверхні Землі, де температура 290 К і тиск 100 кПа; б) на певній висоті, де температура 220 К і тиск 25 кПа.
7.6.Однакові частинки кожна масою 10-12 г розподілені в однорідному гравітаційному полі
знапруженістю 0,2 мкН/кг. Визначити відношення n1 / n2 концентрацій частинок, які
знаходяться на еквіпотенціальних рівнях, віддалених один від одного на 10 м. Температуру у всіх шарах вважати однаковою і рівною 290 К.
7.7.Маса кожної з порошинок у повітрі дорівнює 10-18 г. Відношення концентрації n1 порошинок на висоті h1 =1 м до їх концентрації n0 на висоті h0 дорівнює 0,787. Температура повітря 300 К. Знайти за цими даними значення сталої Авогадро.
7.8.Яка ймовірність того, що дана молекула ідеального газу має швидкість, відмінну від 1/ 2υв не більше ніж на 1%?
7.9.Яка ймовірність того, що дана молекула ідеального газу має швидкість, відмінну від 2υв не більше ніж на 1%?
7.10.Визначити відносне число молекул ідеального газа, швидкості яких знаходяться в межах від нуля до однієї сотої найбільш ймовірної швидкості υв .
7.11.Розподіл молекул по швидкостях у молекулярних пучках при ефузійному витіканні
|
f (υ)dυ = Cυ |
3 |
|
|
|
mυ |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||
відрізняється від розподілу Максвела і має вигляд |
|
|
|
|
|
|
dυ . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
exp − |
2kT |
υ |
|
|||||||||||||
Визначити з умови нормування коефіцієнт С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (υ)= |
m |
2 |
|
|
|
|
mυ |
2 |
|
|
|
3 |
|
|||
7.12. Виходячи з функції розподілу молекул по швидкостях |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
у |
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2k |
T |
exp |
2kT |
υ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
молекулярному пучку, знайти вираз для найбільш ймовірної швидкості υв . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f (υ)= |
m |
2 |
|
|
|
|
mυ |
2 |
|
|
|
|
|
|||
7.13. Виходячи з функції розподілу молекул по швидкостях |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
3 |
у |
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2k |
T |
exp |
2kT |
υ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
молекулярному пучку, знайти вираз для середньої арифметичної швидкості |
|
υ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.14.Водень знаходиться при нормальних умовах (р = 101 кПа, Т = 273 К) і займає об’єм 1 см3. Визначити число молекул у цьому об’ємі, які мають швидкості, менші за υmax =1 м/с.
7.15.Визначити частку молекул ідеального газу, енергії яких відрізняються від середньої енергії поступального руху молекул при тій самій температурі не більше, ніж на 1%.
7.16.Знайти відносне число молекул ідеального газу, кінетичні енергії яких відрізняються від найбільш ймовірного значення εв енергії не більше, ніж на 1%.
7.17. Функція розподілу ймовірностей величини х має вигляд f (x)= Aexp(−αx2 )4πx2 , де А і
α – константи. Записати наближений вираз для ймовірності того, що значення х буде знаходитися в межах від 7,9999 до 8,0001.
58
7.18.Азот (N2) знаходиться у рівноважному стані при температурі 421 К. Визначити відносне число N / N молекул, швидкості яких знаходяться в інтервалі від 499,9 до 500,1 м/с.
7.19.Вважаючи атмосферу ізотермічною, а прискорення вільного падіння не залежним від
висоти, обчислити тиск на висоті 5 км. Тиск на рівні моря прийняти рівним p0 =101кПа.
7.20.Поблизу поверхні Землі відношення об’ємних концентрацій кисню (О2) і азоту (N2) у повітрі дорівнює η = 20,95 / 78,08 = 0,268 . Приймаючи температуру атмосфери не залежною від висоти і рівною 0°С, визначити це відношення η на висоті 10 км.
7.21.Вважаючи атмосферу ізотермічною, а прискорення вільного падіння не залежним від висоти, обчислити тиск у шахті на глибині 2 км. Тиск на рівні моря прийняти рівним
p0 =101кПа.
7.22.Азот (N2) знаходиться у рівноважному стані при температурі 421 К. Визначити відносне число N / N молекул, швидкості яких знаходяться в інтервалі від 249,9 до 250,1 м/с.
7.23.Встановлена вертикально запаяна з обох країв труба заповнена газоподібним киснем
(О2). Висота труби 200 м, об’єм 200 л. Стінки труби мають однакову температуру 293 К. Тиск газу всередині труби поблизу її основи дорівнює 105 Па. Визначити тиск у трубі поблизу її верхнього кінця та кількість молекул кисню, які містяться у трубі.
7.24.Приймаючи температуру повітря і прискорення вільного падіння не залежними від висоти, визначити, на якій висоті над рівнем моря густина повітря менша свого значення на рівні моря у двічі. Температура повітря дорівнює 0°С.
7.25.Вважаючи атмосферу ізотермічною, а прискорення вільного падіння не залежним від
висоти, обчислити тиск на висоті 10 км. Тиск на рівні моря прийняти рівним p0 =101кПа.
7.26.У скільки разів зміниться значення максимуму функції f (ε) розподілу молекул
ідеального газу по енергіях, якщо температура Т газу збільшиться у двічі? Розв’язок пояснити графіком.
7.27.Приймаючи температуру повітря і прискорення вільного падіння не залежними від висоти, визначити, на якій висоті над рівнем моря густина повітря менша свого значення на рівні моря у е = 2,718 разів. Температура повітря дорівнює 0°С.
7.28.Визначити, в скільки разів середня кінетична енергія поступального руху молекул ідеального газу відрізняється від найбільш ймовірного значення кінетичної енергії поступального руху при тій самій температурі.
7.29.Обчислити найбільш ймовірну, середню і середньоквадратичну швидкості молекул кисню (О2) при 20°С.
7.30.Азот (N2) знаходиться у рівноважному стані при температурі 421 К. Визначити відносне число N / N молекул, швидкості яких знаходяться в інтервалі від 749,9 до 750,1 м/с.
59
РОЗДІЛ 3. ЕЛЕКТРИКА [2,5,7,8,11,12]
Тема 8. Електростатика
Електричні заряди наділяють оточуючий їх простір особливими фізичними властивостями – створюють електричне поле. Взаємодія електричних зарядів здійснюється за допомогою полів, які ними створюються.
Нерухомі заряди створюють незмінне у часі поле, яке має назву електростатичне поле. Саме такі поля, їх характеристики, властивості, взаємодії з іншими фізичними об’єктами й вивчає розділ електростатика.
Фізична величина |
|
Позначення |
Одиниці вимірювання |
Електричний заряд |
|
q, Q |
Кл |
Електроємність |
|
С |
Ф |
Напруженість поля |
|
Е |
В/м |
Потенціал |
|
ϕ |
В |
Електрична стала |
|
ε0 = 8,85 10-12 |
Ф/м |
Стала в законі Кулона |
|
k =1/(4πε0 )= 9 109 |
м/Ф |
Діелектрична проникність |
|
ε |
— |
Поверхнева густина заряду |
|
σ |
Кл/м2 |
Лінійна густина заряду |
|
τ |
Кл/м |
Основні формули і методичні рекомендації |
|||
1. Закон збереження електричного заряду |
|
||
n |
|
|
|
∑qi |
= q1 + q2 +K+ qn = const |
(8.1) |
|
i=1
алгебраїчна сума електричних зарядів ізольованої системи залишається сталою, які б процеси і взаємодії не відбувалися всередині системи.
2. Закон Кулона
F = k |
|
q1 |
|
|
|
q2 |
|
|
(8.2) |
|
|
|
|
||||||
|
ε r 2 |
||||||||
|
|
|
|||||||
сила взаємодії двох точкових нерухомих зарядів прямо пропорційна добутку модулів зарядів і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.
Сили взаємодії двох точкових нерухомих зарядів спрямовані уздовж прямої, яка з’єдную ці заряди. Однойменні заряди відштовхуються, різнойменні – притягаються.
Якщо в задачі дано більше двох зарядів і треба знайти силу, що діє на один з цих зарядів, то задачу розв’язують у два етапи:
•знаходять сили взаємодії даного заряду з кожним іншим зарядом;
•за правило додавання векторів сумують отримані сили, визначають їх рівнодіючу силу.
3.Напруженість – силова характеристика поля
r |
F |
|
|
E = |
|
(8.3) |
|
q |
|||
|
|
де F – сила, з якою поле діє на точковий заряд q , розміщений у цьому полі. Напрям вектору
E співпадає з напрямом сили, що діє на позитивний заряд. Вектор напруженості поля точкового заряду у будь-якій точці спрямований уздовж прямої, яка з’єднує цю точку і заряд,
причому якщо заряд позитивний (q>0), то вектор E спрямований від заряду, а якщо заряд негативний (q<0), то до заряду.
Напруженість поля:
60