Методичні рекомендації_1 (заочники)_new

Тема 4. Елементи статики і гідростатики

Розділ механіки, в якому вивчаються умови рівноваги твердих тіл або рідин (газів), називаються відповідно статикою або гідростатикою (аеростатикою).

Рівновагою твердого тіла називають такий його стан, коли будь-які прискорення (поступальні або обертальні) дорівнюють нулю, тобто усі сили і моменти сил, що діють на тіло, зрівноважені. При цьому тверде тіло може знаходитися у стані спокою, рухатися рівномірно прямолінійно або рівномірно обертатися навколо осі, яка проходить через центр тяжіння.

Рівновага рідини або газу передбачає, що окремі їх частини не переміщуються поміж собою або відносно тіл, що граничать з ними.

Методичні рекомендації

При розв’язанні задач зі статики зберігаються правила розв’язку задач з динаміки, тільки замість другого закону Ньютона на перше місце виходить перший закон Ньютона. Розв’язок задач статики твердого тіла зводиться до складання системи рівнянь рівноваги. Рекомендована послідовність дій є наступною:

1.Зробити схематичний рисунок, на якому вказати усі сили, прикладені до системи. Слід пам’ятати, що сила тяжіння завжди прикладена у центрі мас тіла, а сила тертя – у точці дотику поверхонь.

2.Записати рівняння рівноваги всіх тіл, які входять у систему. Якщо тіла мають закріплену вісь обертання, то умова рівноваги зводиться до рівності нулю суми моментів сил відносно будь-якої однієї точки. Звичайно за таку точку беруть слід від осі обертання.

3.Розв’язати отриману систему відносно невідомих величин.

Задачі на гідрота аеростатику за методами розв’язку поділяються на дві основні групи: задачі на розрахунок тиску і сил тиску, і задачі, в яких використовується закон Архімеда.

Усі задачі першої групи розв’язуються на підставі закону Паскаля. Методика є наступною:

1.Зробити рисунок, відмітити початковий рівень рідини, коли всі її точки знаходилися на однаковій висоті, розбити стовп рідини над обраною поверхнею на елементарні частини.

2.Позначити висоту кожного елементарного шару, скласти рівняння рівноваги рідини для певних двох точок поверхні одного рівня: p1 = p2 .

3.Якщо за умовою задачі до моменту рівноваги рідину переливали з однієї частини

посудини в іншу, то до рівнянь рівноваги додається умова нестисливості рідини: S1h1 = S2 h2 , де S1 , S2 – площі поперечного перерізу, h1 , h2 – висоти стовпів рідин, що

переливаються.

Розв’язання задач другої групи (про рівновагу тіла, що плаває) пов’язане із застосуванням закону Архімеда і законів статики, слід проводити за схемою розв’язку задач статики твердого тіла.

Основні закони та формули

1.Умова рівноваги

для матеріальної точки: векторна сума сил, прикладених до точки дорівнює нулю

для твердого тіла із жорстко закріпленою віссю: алгебраїчна сума моментів сил, що діють на тіло дорівнює нулю

для твердого тіла з рухомою віссю обертання:

31

2.Тиск

Fn – сила нормального тиску, S – площа поверхні.

Для ідеальної (нестисливої, нев’язкої) рідини є справедливим:

а) тиск на глибині h нерухомої рідини з густиною ρ не залежить від форми посудини і дорівнює

б) середня сила тиску на стінки циліндричної посудини з горизонтальним дном дорівнює

Закон Паскаля: в будь-якій точці нерухомої рідини тиск передається по всіх напрямках однаково.

p0 – зовнішній тиск на поверхню рідини (звичайно атмосферний тиск).

2.якщо у сполучені посудини налито різну рідину, то у рівноважному стані тиск у лівому і правому колінах буде однаковим (рис.4.1)

розташовується на однаковому рівні h1 = h2 .

3.Виштовхувальна сила

Закон Архімеда: на тіло, яке занурене у рідину або газ, діє виштовхувальна (архімедова) сила, що дорівнює вазі рідини, яка виштовхується тілом

ρp – густина рідини (або газу), у яку занурено тіло, Vn – об’єм зануреної частини тіла.

Архімедова сила спрямована вертикально угору, проти сили тяжіння. Умови плавання тіла:

FA = mg – тіло плаває всередині або на поверхні рідини; FA > mg – тіло спливає;

FA < mg – тіло тоне.

Приклади розв’язування задач

Приклад № 1

Вантаж масою 200 г утримується за допомогою ниток АВ і ВС (рис. 4.2). Нитка АВ є горизонтальною, кут α дорівнює 30°. Знайти натяг нитки АВ.

32

Розв’язуємо отриману систему рівнянь

Ділимо перше рівняння системи (4) на друге, отримаємо остаточну формулу:

tgα = mg T2 = mgctgα (5)

T2

[T2 ]= кгс2 м = Н Відповідь: Т2 = 3,4 Н.

Приклад № 2

Колесо радіусом 0,5 м і масою 40 кг стоїть перед сходинкою заввишки 0,1 м. Яку мінімальну горизонтальну силу необхідно прикласти до центру колеса, щоб вкотити його на сходинку?

щоб момент сил, які обертають колесо навколо точки О’ за годинниковою стрілкою був не

Відповідь: F = 300 Н.

33

Приклад № 3

Однорідна колода завдовжки l і масою 100 кг лежить на двох опорах. Відстань від правого кінця колоди до ближньої опори 13 l , від лівого 14 l . З якою силою тисне колода на кожну з опор? Яку мінімальну силу слід прикласти, щоб трохи підняти колоду за правий край?

Згідно з третім законом Ньютона колода тисне на опори з силами F1 і F2, рівними за модулем, але напрямленими протилежно щодо сил N1 і N2. Отже, F1 = 400 Н, F2 = 600 Н. Запишемо тепер умову рівноваги для випадку піднімання колоди за правий край:

F AD − mg AO = 0 F 34 l − mg 14 l = 0 F = 13 mg = 333 Н.

Відповідь: F1 = 400 Н, F2 = 600 Н, F = 300 Н.

Приклад № 4

У сполучених циліндричних посудинах знаходиться ртуть. Діаметр однієї посудини у тричі більший. У вузьку посудину вливають воду заввишки 26,2 см. На скільки підніметься рівень ртуті у широкій посудині? Густина ртуті 13600 кг/м3, води 1000 кг/м3.

34

Приклад № 5

До малого поршня гідравлічного преса прикладена сила 196 Н, під дією якої за один прохід він опускається на 25 см. Внаслідок цього більший поршень піднімається на 5 см. Знайти силу тиску на більший поршень.

Оскільки рідина є нестисливою, об’єм рідини, що перейшла з одного коліна до іншого, однаковий: V1 =V2 S1h1 = S2 h2 . Звідси маємо

Підставляємо (2) в (1), отримаємо кінцевий результат:

F2 = F1 hh1 (3)

2

Відповідь: F2 = 980 Н.

Приклад № 6

Динамометр, до якого підвішений шматок сплаву, який складається з міді і срібла, показує у повітрі 2,41 Н, у воді 2,71 Н.Визначити масу міді і срібла у цьому шматку. Густина срібла дорівнює 10500 кг/м3, густина міді дорівнює 8900 кг/м3. Виштовхувальною силою повітря знехтувати.

35

При зважуванні у воді на шматок металу діють: сила тяжіння mg ; сила натягу пружини T2 ;

Враховуючи, що F = ρgV , де ρ =1000 кг/м3 – густина води, V – об’єм тіла, і підставляючи результат (2), перетворюємо рівняння (3):

Відповідь: mC = 0,21 кг; mM = 0,0356 кг.

Задачі контрольного завдання

4.1.На балку, що лежить на двох опорах А і В необхідно покласти вантаж масою 1500 кг. Довжина балки 7 м. На якій відстані від опори А треба розташувати вантаж, щоб на опору він тиснув з силою 5000 Н?

4.2.До горизонтального стержня завдовжки 0,4 м прикладені три сили, спрямовані вертикально униз. До лівого краю прикладена сила 3 Н, до середини 8 Н, до правого краю 9 Н. Визначити, на якій відстані від лівого краю необхідно зробити опору, щоб стержень знаходився у рівновазі.

4.3.Дві людини несуть трубу масою 80 кг і завдовжки 5 м. Перша людина підтримує трубу на відстані 1 м від її кінця, а друга тримає протилежний край труби. Знайти силу тиску труби на кожну людину.

4.4.Ліхтар масою 20 кг підвішений на двох однакових тросах, які утворюють кут 120º. Знайти силу натягу тросів.

4.5.Однорідний стержень з вантажем масою 1,2 кг на одному з його кінців знаходиться у рівновазі, якщо його опору зробити на відстані 1/5 довжини стержня від вантажу. Знайти масу стержня.

4.6.Пробковий рятувальний пояс важить 35 Н. Який максимальний вантаж може утримати пояс у прісній воді? Густина води 1000 кг/м3; густина пробки 200 кг/м3.

4.7.Аеростат об’ємом 2000 м3 заповнено воднем. Маса оболонки, сітки, корзини, баласту – 1600 кг. Визначити підіймальну силу аеростата. Вважати атмосферні умови

36

нормальними (Т = 273 К, ра = 101 кПа). Густина повітря 1,3 кг/м3, густина водню 0,1 кг/м3.

4.8. На кронштейні (рис.4.8) висить вантаж масою 52 кг. Визначити силу натягу стержнів АВ і ВС, вважаючи їх невагомими.

4.9. У дві сполучені посудини з різною площею перерізу налито ртуть. Потім у Рис. 4.8. більш широку трубку з площею перерізу 8 см2 налито 272 г води. На скільки вище буде рівень ртуті у вузькій трубці?

4.10.Злиток із золота і срібла зважують у повітрі і у воді. Покази динамометра відповідно дорівнюють 3 Н і 2,756 Н. Визначити масу золота і срібла у злитку.

4.11.Порожня мідна куля об’ємом 44,5 см3 плаває у воді, занурюючись у неї до половини. Визначити об’єм порожнини.

4.12.Матовий кран складається зі стріли АВ, прикріпленої шарніром А до мачти, і ланцюга СВ (рис.4.9). До кінця стріли підвішений вантаж масою

4.13.У дві сполучені трубки різного перерізу налили спочатку ртуть, а потім у широку трубку перерізом 8 см2 воду масою 272 г. На скільки вище розташований рівень ртуті у вузький трубці? Густина ртуті 13600 кг/м3, води 1000 кг/м3.

4.14.Шматок мідного купоросу важить у повітрі 100 мН, а у керосині 70 мН. Визначити

густину мідного купоросу. Мідний купорос нерозчинний у керосині. Густина керосину

800 кг/м3.

4.15.Тонка однорідна палиця закріплена за допомогою шарніру за верхній кінець. Нижня частина палиці занурена у воду, причому рівновага досягається тоді, коли палиця розташована під кутом до поверхні води і у воді знаходиться половина палиці. Яка густина матеріалу палиці?

4.16.Балка масою 300 кг і завдовжки l = 8 м лежить на двох опорах. Відстані від країв балки до опор 2 м і 1 м. Знайти сили, з якими балка тисне на опори.

4.17.Стальний кубик плаває у ртуті. Поверху ртуті наливають воду таким чином, що вона

накриває кубик. Яка висота шару води? Довжина ребра кубика 10 см. Густина ртуті

13600 кг/м3, води 1000 кг/м3, сталі 7800 кг/м3.

4.18.Шматок льоду масою 1,9 кг плаває у циліндричній посудині, яку наповнено рідиною з густиною 950 кг/м3. Площа дна посудини 40 см2. На скільки зміниться рівень рідини, коли лід розтане?

4.19.Ліхтар, вага якого 40 Н, причеплено на шнурах (рис.4.10), причому AD = 100 см, а DC = CB = 200 см. Які сили пружності шнурів AD і DC?

4.21.Вантаж, вага якого 100 Н, утримується в рівновазі на колінчастому важелі силою F (рис.4.11(а)). Знайти модуль сили F, якщо ОА = 20 см, а ОВ = 50 см.

4.22.Брусок, маса якого 10 кг, треба перекинути через ребро С (рис.4.11(б)). Визначити необхідно для цього силу F, якщо ширина бруска становить 50 см, а висота 75 см.

Рис. 4.11.

4.23.Стержень, закріплений шарнірно в точці О (рис.4.11(с)), відвели від вертикального положення на кут α = 30º. Сила F = 2,5 Н. Яка маса стержня?

4.24.Крижина рівномірної товщини плаває, виступаючи над рівнем води на висоту 2 см. Знайти масу крижини, якщо площа її основи 200 см2. Густина льоду 900 кг/м3.

37

4.25.Колода завдовжки 3,5 м і діаметром 30 см плаває у воді. Яка маса людини, що може стояти на колоді, не намочивши ноги? Густина деревини 700 кг/м3.

4.26.У циліндричний суд налито однакові маси ртуті і води. Загальна висота двох шарів

рідин 29,2 см. Визначити тиск рідин на дно посудини. Густина ртуті 13600 кг/м3, води 1000 кг/м3.

4.27.Малий поршень гідравлічного преса за один прохід опускається на висоту 0,2 м, а більший поршень піднімається на висоту 0,01 м. З якою силою діє прес на затиснуте у ньому тіло, якщо на малий поршень діє сила 500 Н?

4.28.Вантажопідйомність крана (рис.4.12) становить 15 кН, якщо виліт стріли

дорівнює 20 м. Яку вантажопідйомність матиме кран, якщо виліт стріли Рис. 4.12. становитиме 10 м?

4.29.Відстань від опорного колеса причіпного автокрана до центра тяжіння дорівнює 6 м, а до крана 12 м (рис.4.13). Маса автомобіля з поворотним пристроєм крана 4700 кг. Який максимальний вантаж можна підняти цим краном? Масою

стріли і гака знехтувати.

4.30. Злиток сплаву золота і срібла у повітрі розтягує пружину Рис. 4.13. динамометра з силою 14,7 Н, а у воді – з силою на 1,274 Н меншою. Знайти маси золота і срібла у злитку, вважаючи, що при сплавленні їх початковий об’єм не змінився. Густина золота 19300 кг/м3, густина срібла 10500 кг/м3.

38

РОЗДІЛ 2. ОСНОВИ СТАТИСТИЧНОЇ ФІЗИКИ ТА ТЕРМОДИНАМІКА

[1,4,6,9-12]

Тема 5. Молекулярно-кінетична теорія. Перший закон термодинаміки

Молекулярно-кінетична теорія (МКТ) і термодинаміка (ТД) обидві є різними способами опису теплових процесів. Молекулярно-кінетична теорія враховує внутрішню будову тіл, а закони МКТ мають строге математичне та фізичне обґрунтування. Термодинаміка не враховує молекулярну будову тіл, а закони ТД не виводяться математично, а є наслідком узагальнення великої кількості дослідних фактів.

Методичні рекомендації

1.Розв’язок задач з використанням молекулярно-кінетичної теорії часто потребує знання хімічних формул будови речовини. Наприклад, при підрахунку молярних мас газів слід ураховувати, що молекули більшості газів (крім інертних) є двоатомними.

2.Задачі на газові закони можна віднести до таких груп:

•В результаті певних процесів (нагрівання, розширення і т.п.) газ переходить із стану p1 , V1 , T1 у стан p2 , V2 , T2 , причому кількість (маса) цього газу не змінюється. У

цьому випадку, використовуючи об’єднаний закон газового стану, визначають один з

6 параметрів.

•Змінюється як стан, так й кількість (маса) газу. У цьому випадку слід записати рівняння Менделєєва-Клапейрона для початкового і кінцевого станів (з урахуванням різної маси газу) і розв’язати отриману систему рівнянь.

•При розв’язку задач про газ, що знаходиться у посудині під вагомим поршнем масою

mп , слід враховувати добавку p = mSп g до тиску газу, яка викликана цим поршнем

(тут S – переріз посудини).

3.У кінетичній теорії використовуються різні типи середніх швидкостей молекул: середня квадратична υкв , середня арифметична υ і найбільш ймовірна υв . Для одного й того

самого газу при однаковій температурі маємо υв : υ : υкв =1,41:1,60 :1,73 .

4.Середньою квадратичною швидкістю користуються у тих випадках, коли необхідно розрахувати певну фізичну величину, яка є пропорційною квадрату швидкості, наприклад, кінетичну енергію поступального руху молекул газу, тиск газу.

5.Середня арифметична швидкість дозволяє визначати середні значення таких фізичних величин, у формулу яких швидкість входить у першому ступені, наприклад, середнє число зіткнень молекули в одиницю часу, середній час вільного пробігу, середній імпульс молекул.

6.Найбільш ймовірною швидкістю користуються у задачах, пов’язаних із застосуванням закону розподілу молекул по швидкостях.

7.При розв’язанні задач на визначення кількості теплоти, яке необхідно для нагрівання речовини, необхідно пам’ятати, що формула Q = cm T є справедливою тільки у тому

випадку, коли агрегатний стан речовини не змінюється. Якщо воно плавиться або переходить у пару, необхідно додати потрібну для цього додаткову теплоту.

8.В основі розв’язку задач на перетворення механічної енергії у теплову лежить закон збереження енергії: при взаємодії тіл у замкненій системі кількість теплоти, що виділяється дорівнює різниці механічної енергії системи до і після взаємодії.

9.При розв’язку задач на теплообмін необхідно встановити в яких тіл внутрішня енергія зменшується (віддають тепло), а в яких – збільшується (отримують тепло). Потім підставити знайдені кількості теплоти з відповідними знаками у рівняння теплового балансу Q1 +Q2 +K+Qn = 0 .

39

10. У ізохорному та ізобарному процесах кількість теплоти, що отримує газ, завжди пов’язане із зміною його температури dQ = vCdT , де C = CV при ізохорному і C = C p

при ізобарному процесах. Оскільки обидві молярні теплоємності C p і CV – величини додатні, знаки приросту dQ і dT завжди співпадають. Отже, при нагріванні ( dT > 0 ) газ отримує тепло ( dQ > 0 ) і навпаки, при охолодженні ( dT < 0 ) газ віддає тепло ( dQ < 0 ).

При ізотермічному і адіабатному процесах не існує зв’язку між приростом температури газу і кількістю теплоти, що отримана ним.

кількість ступенів свободи відповідно для одноатомного, двохатомного та багатоатомного газу.

40