Методичні рекомендації_1 (заочники)_new

З якою швидкістю повинен в момент старту ракети вилетіти снаряд з гармати, щоб влучити у ракету, яка стартує вертикально з прискоренням a ? Відстань від гармати до місця старту ракети дорівнює L, снаряд вилітає під кутом 45° до горизонту.

a

L = OB

α = 45°

υ0 - ?

Рис.1.5.

Використаємо кінематичне рівняння для переміщення:

Sr =υr0t + art 2

2

Запишемо його в проекціях на відповідні координатні осі для ракети і для снаряду. В результаті отримаємо систему з трьох кінематичних рівнянь:

11

Приклад № 4

Ступінчастий шків з радіусами r = 0,25 м і R = 0,5 м приводиться у обертальний рух вантажем, який опускається із сталим прискоренням a = 2 см/с2. Визначити прискорення точки М у момент часу, коли вантаж подолає шлях S = 100 м.

Якщо тепер підставити вирази (2) та (3) у рівняння (1), то можна отримати кінцеву формулу для розрахунку прискорення т. М:

Відповідь: aM = 32 м/с2.

Приклад № 5

Точка рухається по колу радіусом 20 см з постійним дотичним прискоренням 5 см/с2. Через який час після початку руху нормальне прискорення стане рівним дотичному?

прискорення наступним чином:

a aτ = εR ε = Rτ

Тоді, функціональна залежність нормального прискорення від часу приводиться до рівняння:

an = aτ2t 2 R

Звідки отримаємо остаточну розрахункову формулу:

12

Відповідь: t = 2 с.

Приклад № 6

Хлопець обертає камінь, який прив’язаний до шнура довжиною 0,5 м, у вертикальній площині з частотою 3 с-1. На яку висоту улетить камінь, якщо шнур розірветься у той момент, коли швидкість була спрямована вертикально угору?

Для знаходження максимальної висоти підйому застосуємо кінематичне рівняння, яке пов’язує висоту зі швидкістю. Крім того, урахуємо, що у максимальній точці підйому швидкість каменя дорівнюватиме нулеві:

Оскільки проекція переміщення hy і проекція прискорення вільного падіння gy при русі угору завжди спрямовані у протилежні боки (мають протилежні знаки), то остання формула запишеться у вигляді:

[h]= м2 с-2 = м м/с2

Відповідь: h = 4,5 м.

Задачі контрольного завдання

1.1.Знайти радіус колеса, що обертається, якщо відомо, що лінійна швидкість точки, яка знаходиться на ободі, у 2,5 рази більша за лінійну швидкість точки, яка знаходиться на 5 см ближче до осі колеса.

1.2.Вал починає обертатися і у перші 10 с здійснює 50 обертів. Вважаючи обертання вала рівноприскореним, визначити кутове прискорення та кінцеву кутову швидкість.

1.3.Дальність польоту тіла, кинутого горизонтально з швидкістю 4,9 м/с, дорівнює висоті, з якої його кинуто. Чому дорівнює висота і під яким кутом до горизонту впало тіло?

1.4.Повітряна куля піднімається вертикально угору з постійною швидкістю 3 м/с. Через 5 с після старту кулі з поверхні землі вертикально угору кинули камінь з початковою швидкістю 28 м/с. На якій висоті камінь і куля зустрінуться?

1.5.Колесо велосипеда має радіус 40 см. З якою швидкістю їде велосипедист, якщо колесо робить 100 об/хв.?

1.6.Вільне падаюче без початкової швидкості тіло в останню секунду падіння пройшло 2/3 свого шляху. Знайти висоту падіння.

1.7.З висоти h1 = 10 м без початкової швидкості падає камінь. Одночасно з висоти h2 = 5 м вертикально угору кидають інший камінь. З якою початковою швидкістю υ0 кинуто другий камінь, якщо камені зустрілися на висоті h = 1 м над землею?

1.8.Літак летить горизонтально зі швидкістю 1440 км/год на висоті 20 км. Коли він знаходився над зеніткою, з неї був зроблений постріл. Якою повинна бути мінімальна початкова швидкість снаряду та кут її з горизонтом, щоб снаряд влучив у літак?

1.9.Під яким кутом до горизонту треба кинути тіло, щоб горизонтальна дальність польоту була вдвічі більша за висоту підйому?

13

1.10.При рівноприскореному русі тіла по колу повне прискорення і лінійна швидкість тіла створюють кут 30°. Знайти відношення доцентрового і дотичного прискорень.

1.11.На легкий шків радіусом 10 см намотана нитка, до якої причеплено вантаж. Вантаж починає опускатися з прискоренням 0,02 м/с2. Чому дорівнює кутова швидкість шківа у той момент, коли вантаж пройде 1 м?

1.12.Хлопець, що стоїть на краю скелі, висота якої h = 180 м, випустив з рук камінь, а через секунду кинув другий камінь. Якої швидкості він надав другому каменю, якщо обидва камені впали на землю одночасно?

1.13.Яку початкову швидкість υО повинна мати сигнальна ракета, випущена з ракетниці під кутом 30° до горизонту, щоб вона спалахнула в найвищій точці своєї траєкторії, якщо горіння запалу ракети триває 5 с?

1.14.Знайти радіус маховика, якщо при обертанні лінійна швидкість точок на його ободі 6 м/с, а точок, які знаходяться на відстані 15 см ближче до осі обертання, 5,5 м/с.

1.15.Колесо, здійснюючи рівноприскорене обертання, досягло швидкості 20 рад/с через 10 обертів після початку обертання. Знайти кутове прискорення колеса.

1.16.Поїзд, що рухається після початку гальмування з прискоренням 0,4 м/с2, через 25 с зупинився. Знайти швидкість у момент початку гальмування і гальмівний шлях.

1.17.Тіло рухається по колу радіусом 10 см з постійним тангенційним прискоренням 0,05 м/с2. Через який час від початку руху доцентрове прискорення перебільшить тангенційне удвічі?

1.18.Гальмівний шлях поїзда, який рухається з швидкістю 72 км/год, дорівнює 800 м. Знайти час гальмування.

1.19.Тіло починає рівноприскорене обертання і здійснює за 2 хв 3600 обертів. Знайти кутове прискорення тіла.

1.20.Колесо обертається з постійним кутовим прискоренням 2 рад/с2. Через 0,5 с після початку руху повне прискорення колеса становить 13,6 м/с2. Знайти радіус колеса.

1.21.Вантаж піднімають лебідкою. Перші 2 с вантаж рухається прискорено без початкової швидкості з прискоренням 0,5 м/с2, наступні 11 с – рівномірно, останні 2 с – сповільнено з прискоренням 0,5 м/с2. На яку висоту було піднято вантаж?

1.22.З якої висоти впало тіло, якщо за останню секунду падіння воно пройшло шлях 50 м?

1.23.У ліфті, що піднімається рівномірно зі швидкістю 100 см/с, падає тіло з висоти 50 см над підлогою. Через скільки часу після початку падіння тіло доторкнеться до підлоги? На скільки зміниться за цей час висота тіла відносно землі?

1.24.При повороті трактора, який рухається зі швидкістю 24 км/год, центр мас якого описує дугу радіуса 9 м. Знайти різницю швидкостей гусениць трактора, якщо відстань між ними 1,5 м.

1.25.Маховик, що обертається з частотою 2 с-1, зупиняється протягом 1,5 хв. Вважаючи, що рух є рівноуповільнений, визначити, скільки обертів здійснить маховик до повної зупинки, а також знайти кутове прискорення маховика.

1.26.Куля й звук від пострілу одночасно досягають висоти 660 м. Знайти початкову швидкість кулі. Швидкість звуку 330 м/с.

1.27.За п’яту секунду рівноуповільненого руху матеріальна точка проходить шлях 5 м і зупиняється. Який шлях вона проходить за третю секунду руху?

1.28.Тіло падає з висоти 2000 м. За який час воно пройде останні 100 м?

1.29.Літак летить горизонтально зі швидкістю 470 м/с. Людина почула звук від літака через 21 с після того, як літак пролетів над нею. На якій висоті знаходився літак? Швидкість звуку 330 м/с.

1.30.З якою швидкістю υ0 треба кинути вертикально вниз тіло з висоти h = 40 м, щоб воно впало на поверхню землі на t = 1 с раніше, ніж тіло, яке вільно падало з цієї висоти?

14

Тема 2. Динаміка поступального і обертального руху

Динаміка вивчає, як відбувається рух тіла при його взаємодії з іншими тілами. Взаємодія розглядається за допомогою сил, що діють на тіло. Динаміка встановлює закономірні зв’язки між кінематичними характеристиками руху і причинами, що зумовлюють саме цей вид руху. Це і є головним завданням динаміки.

Методичні рекомендації

При розв’язанні задач з динаміки доцільно використовувати наступні методичні вказівки:

1.Уважно прочитати умову задачі, зробити короткий запис умови, виразити усі дані в СІ.

2.З’ясувати, які сили діють на тіло (систему тіл).

3.Зробити схематичне креслення, де вказати усі сили, що діють на тіло, напрям прискорення та координатних осей.

4.Записати другий закон Ньютона у векторній формі і у проекціях на координатні осі. Якщо розглядається рух декількох тіл, то другий закон Ньютона треба записувати для кожного тіла.

5.Розв’язати отриману систему рівнянь відносно невідомих величин.

6.Перевірити та вказати розмірність шуканої фізичної величини.

Основні закони та формули

Сила – фізична величина, яка характеризує дію одного тіла на інше тіло (або систему тіл). Сила є векторною величиною. В механіці маємо справу з трьома типами сил:

1. Гравітаційні сили – характеризують взаємне притягання двох тіл. В загальному випадку визначаються законом всесвітнього тяжіння

де G = 6,67 10-11 Н м2/кг2 – гравітаційна стала, m1, m2 – маси двох взаємодіючих тіл, R – відстань між ними. Гравітаційна сила спрямована уздовж прямої, яка з’єднує центри двох взаємодіючих тіл.

Коли розглядається сила земного тяжіння, то її можна визначити також наступним чином:

де m – маса тіла, g = 9,81 м/с2 – прискорення вільного падіння. Сила тяжіння (2.2), як і прискорення вільного падіння, завжди напрямлені до центру Землі.

2. Сили пружності – виникають при деформаціях тіл.

Якщо тіло знаходиться на опорі, то з боку опори виникає сила реакції опори (N), яка за модулем дорівнює вазі тіла (Р):

Сила реакції опори завжди спрямована перпендикулярно до опори, у бік протилежний напряму дії сили Р.

15

Якщо тіло знаходиться на підвісі, то виникає сила натягу (Т), яка за модулем також дорівнює вазі тіла (Р) і спрямована уздовж підвісу у протилежний напряму дії сили Р бік.

де k – коефіцієнт жорсткості, х – деформація тіла (видовження). Сила пружності завжди спрямована у бік, протилежний деформації тіла.

3. Сили тертя – сили опору, які виникають при відносному переміщенні притиснутих один до одного тіл – це так звані сили тертя кочення або ковзання. Окремим видом тертя є тертя спокою, яке виникає при намаганні зрушити тіло з місця при відсутності відносного руху тіл. Спрямована сила тертя спокою у бік, протилежний дії сили, яка намагається зрушити тіло з місця.

Сила тертя ковзання (кочення) визначається законом Кулона-Амонтона:

де μ – коефіцієнт тертя.

Сила тертя ковзання (кочення) напрямлена по дотичній до поверхні, уздовж якої взаємодіють тіла, у бік, протилежний напряму переміщення даного тіла.

4. Основне рівняння динаміки для поступального руху – другий закон Ньютона – векторне рівняння:

5. Момент інерції. Якщо матеріальна точка масою m рухається по колу радіуса r, то її момент інерції визначається законом:

Якщо розглядати тверде тіло, що обертається навколо осі, як сукупність матеріальних точок, то для його моменту інерції маємо:

Моменти інерції деяких тіл правильної геометричної форми (вісь обертання проходить через центр маси):

де J0 – момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через центр мас тіла паралельно до заданої осі; d – відстань між осями.

6. Момент сили. Обертанняrтіла відбувається тоді, коли сила F прикладена до точки тіла, що знаходиться на відстані r від осі (або центру) обертання. При цьому виникає момент

сили M (рис. 2.2.1 а):

16

Приклади розв’язування задач

Приклад № 1

Уклін гори створює кут α з горизонтом. Під яким кутом β необхідно тягнути ковзани, щоб це відбувалося з мінімальними витратами сили? Яка повинна бути величина цієї сили? Маса

Чисельник рівняння (5) не залежить від кута β, тому величина сили F буде найменшою, коли знаменник буде максимальним. Знайдемо максимум виразу

f (β)= cos β + μsin β

Для цього прирівняймо до нуля похідну по куту β від функції f(β):

17

Таким чином, щоб витрати зусиль були мінімальними, ковзани слід тягнути під кутом β, який визначається рівнянням (7).

Для знаходження сили F підставляємо рівняння (6) у рівняння (5):

Аналіз рівняння (8) дозволяє зробити деякі зауваження. Передусім, поданий розв’язок має сенс тільки тоді, коли значення β таке, що α + β ≤ π/2. Якщо α + β > π/2, то як можна бачити з рис.2.1.1, сила F відхиляється вліво від вертикалі і не може тягнути ковзани угору. У граничному випадку, коли α + β = π/2, сила F спрямована вертикально угору, і її величина дорівнює силі тяжіння (див. рівняння (8)).

Таким чином, форма відповіді залежить від кута α та коефіцієнта тертя μ. Якщо α + arctgμ < π/2, то відповідь дається рівняннями (7, 8). У протилежному випадку сила F повинна бути напрямлена вертикально угору і за модулем дорівнювати силі тяжіння.

Приклад № 2

Два тіла масами m1 i m2 з’єднано ниткою, яка витримує силу натягу Т. До тіл прикладені сили, які діють уздовж горизонталі у протилежні боки: F1 = αt i F2 = 2αt, де α – постійний коефіцієнт (одиниці вимірювання Н/с), t – час дії сили. Визначити, у який момент часу нитка розірветься. Тертям знехтувати.

m1ar = F1 +T + N1 + m1 gr m2 ar = Fr2 +Tr + Nr2 + m2 gr

Знайдемо проекції цих рівнянь на координатні осі:

OX : m1a = T − F1 ; m2 a = F2 −T OY : 0 = N1 − m1 g;0 = N2 − m2 g

Перепишемо першу систему рівнянь з урахуванням умови задачі:

18

m1a = T −αt

m2 a = 2αt −T

З першого рівняння цієї системи виразимо прискорення a і підставимо цей вираз у друге рівняння системи. В результаті отримаємо рівняння з одним невідомим, рішення якого і дає відповідь задачі:

Приклад № 3

ma = 3mg a = 3g

Рис. 2.1.10. Рис.2.7.

19

Приклад № 4

На вал радіуса r щільно насаджено суцільний диск. Момент інерції цієї системи відносно осі J, маса m. На вал симетрично намотано дві нитки, на яких система підвішена до нерухомого штативу. Нитки є вертикальними. Систему відпускають. Знайдіть прискорення осі диску і силу натягу ниток.

З іншого боку, момент сили М можна виразити через сили натягу. Неважко бачити, що плечем цих сил є радіус вала. Тому для моменту сил маємо:

M = 2Tr

Об’єднуючи рівняння (1) і (2) у систему і розв’язуючи її відносно сили натягу Т, отримаємо розрахункову формулу:

Приклад № 5

Блок масою m = 1 кг закріплено на краю стола. Гирі однакової маси m1 = m2 = 1 кг з’єднані ниткою, що перекинута через блок. Коефіцієнт тертя гирі об стіл μ = 0,1. Знайти прискорення, з яким рухаються гирі та сили натягу ниток. Блок вважати однорідним диском. Тертям у блоці знехтувати.

20