Методичні рекомендації_1 (заочники)_new
.pdf
m1ar = Fтр +T1 + m1 gr + N
OX : m1a = T1 − Fтр = T1 − μm1 g
З останнього рівняння виразимо силу натягу:
T1 = m1a + μm1 g |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
||
Тепер проведемо аналогічні перетворення для бруска, що |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
висить на нитці: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.9. |
|
m2 ar = m2 gr +T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
OY : m2 a = m2 g −T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T2 = m2 g − m2 a |
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||
Запишемо основне рівняння динаміки обертального руху для блока: |
|||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
a |
|
1 |
|
|
|
|
M = Jε J = |
|
mR |
|
;ε = |
|
|
M = |
|
maR |
||
2 |
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||
Блок обертається під дією результуючого моменту, який створюють сили натягу Т1 і Т2, що прикладені до блоку. Тому для моменту сил можемо записати:
M = T2 R −T1 R
Об’єднуючи останні два рівняння, отримаємо третє рівняння системи: |
|
|||
|
1 |
ma = T −T |
(3) |
|
|
|
|||
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||
Підставляємо рівняння (1) і (2) у рівняння (3), і розв’язавши його відносно прискорення а, отримаємо:
a = |
|
g(m2 − μm1 ) |
(4) |
||
|
1 |
m + m + m |
2 |
||
|
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[a]= м/с2 кг = м/с2 кг
Підстановка числових значень дає наступні відповіді:
а = 3,5 м/с2; Т1 = 4,5 Н; Т2 = 6,3 Н.
m |
|
Запишемо основне рівняння динаміки для даного випадку: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
R |
|
mar = mgr + N |
(1) |
|
|
|
||
υ |
|
Спрямуємо координатну вісь OY уздовж напряму, |
що |
|
|
|
||
α |
|
|
|
|
||||
|
з’єднує центр викривлення мосту з автомобілем до центру |
|
|
|
||||
F – ? |
|
|
|
|||||
|
викривлення. Прискорення автомобіля є доцентровим, і |
|
|
|
||||
|
|
Рис.2.10. |
|
|||||
|
|
|||||||
спрямоване уздовж осі OY до центру викривлення. Тому маємо: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
OY : |
mυ2 |
= mg cos(α)− N |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
За третім законом Ньютона, сила, я якою автомобіль тисне на міст за модулем дорівнює силі нормальної реакції. Тому остаточно маємо:
|
|
|
υ2 |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
F = N = m g cos(α)− |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
[F ]= кг |
м |
= Н |
|
|
|
с2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
21
Задачі контрольного завдання
2.1.Тіло масою 200 г падає вертикально вниз з прискоренням 920 см/с2. Чому дорівнює сила опору повітря?
2.2.Потяг масою 500 т після вимкнення двигуна зупиняється під дією сили тертя 0,1 МН протягом 1 хв. З якою швидкістю рухався потяг до моменту вимкнення двигуна?
2.3.Знайти силу натягу каната, до якого підвішена кабіна ліфта масою 300 кг, якщо кабіна рухається: з прискоренням 1,6 м/с2 угору; з прискоренням 0,8 м/с2 униз.
2.4.На нитці, що витримує натяг 10 Н, піднімають вантаж масою 0,5 кг із стану спокою вертикально вгору. Вважаючи рух рівноприскореним і силу опору такою, що дорівнює в середньому 1 Н, знайти максимальну висоту, на яку можна підняти вантаж за 1 с так, щоб нитка не порвалась.
2.5.Похила дошка, яка створює з горизонтом кут 60°, приставлена до горизонтального столу (рис.1). Два вантажі масою по 1 кг кожний з’єднані легкою ниткою, що
перекинута через нерухомий блок, і можуть переміщуватися |
Рис.1. |
відповідно уздовж дошки та стола. Знайти силу натягу нитки |
Рис. 2.1.13. |
і прискорення системи, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,3.
2.6.Локомотив розвиває постійну силу тяги 0,36 МН. На горизонтальній ділянці шляху 600 м його швидкість зросла з 10 м/с до 20 м/с. Визначити коефіцієнт тертя, якщо маса локомотива 1000 т.
2.7.Тверде тіло насаджено на горизонтальну вісь, яка проходить через його центр маси. На ту ж саму вісь насаджено легкий блок радіуса r, який жорстко приєднано до тіла. До вільного кінця нитки, що намотано на блок, підвішена гиря масою m (рис.2.). Гирю відпускають. Через час t вона опускається на відстань h. Знайти момент інерції тіла.
2.8. Визначити швидкість руху автомобіля масою 2 т уздовж увігнутого мосту |
Рис.2 |
радіуса 100 м, якщо він тисне на середину моста із силою 25 кН. |
|
2.9.Літак робить “мертву петлю”, яка має радіус 255 м. Яку мінімальну швидкість повинен мати літак у верхній точці петлі, щоб пілот не завис на ремінцях, якими він причеплений до крісла?
2.10.Тіло ковзає по похилій площині, яка складає кут α =45° із горизонтом. Пройшовши шлях S=36,4м, тіло набуває швидкості υ=2 м/с. Чому дорівнює коефіцієнт тертя?
2.11.Визначити момент інерції тонкого однорідного стержня завдовжки 60 см і масою 100 г відносно осі, яка є перпендикулярною до нього і проходить через точку стержня, віддалену на 20 см від одного з його кінців.
2.12.Через блок, який має форму диску, перекинуто шнур. До кінців шнура прив’язано вантажі масами 100 г і 110 г. З яким прискоренням будуть рухатися вантажі, якщо маса блока дорівнює 400 г?
2.13.На горизонтальну вісь насаджено маховик і легкий шків радіусом 5 см. На шків намотаний шнур, до якого прив’язаний вантаж масою 0,4 кг. Опускаючись рівноприскорене, вантаж пройшов шлях 1,8 м за час 3 с. Визначити момент інерції маховика. Масою шківа знехтувати.
2.14.Два тіла масами m1 = 50 г і m2 = 100 г з’єднані ниткою і знаходяться на горизонтальній поверхні (рис.3). З якою
силою F можна тягнути перше тіло, щоб нитка, яка може
витримати силу натягу Tmax = 5 Н, не розірвалася? Чи Рис..32..1.14. зміниться результат, якщо силу прикласти до другого тіла?
2.15.Камінь масою т = 0,5 кг прив'язаний до вірьовки довжиною L = 50 см і
обертається у вертикальній площині. Натяг вірьовки в нижній точці кола Fн = 44,1 Н. На яку висоту підніметься камінь, якщо вірьовка рветься в той момент, коли швидкість напрямлена вертикально вгору?
22
2.16.Знайти момент інерції і момент імпульсу земної кулі відносно осі власного обертання, а також відносно Сонця. Маса Землі 5,96 1024 кг, радіус Землі 6,37 106 м, відстань до Сонця 150 106 км.
2.17.Парашутист, пролетівши відстань 20 м як вільно падаюче тіло, розкрив парашут і за 3 с зменшив швидкість у 10 разів. Визначити натяг тросів при сповільненому русі парашутиста, якщо маса його 60 кг.
2.18.Потяг масою 100 т тягне два вагони по 50 т кожний з прискоренням 1 м/с2. Знайти силу тяги потяга і силу натягу зчеплень, якщо коефіцієнт тертя 0,006.
2.19.Вал масою 100 кг і радіусом 5 см обертається з частотою 8 Гц. До циліндричної поверхні вала притиснули гальмівну колодку з силою 40 Н. Під дією цієї сили вал зупинився через 10 с. Визначити коефіцієнт тертя.
2.20.Камінь, прив’язаний до нитки, обертається у вертикальній площині по колу радіусом 50 см зі швидкістю 3 м/с, маса каменя 0,1 кг. Визначити силу натягу нитки, коли камінь знаходиться у верхньому та нижньому положеннях.
2.21.Через нерухомий блок масою 0,2 кг перекинутий шнур, до кінців якого підвішені вантажі з масами 0,3 кг і 0,5 кг. Визначити сили натягу шнура по обидва боки від блоку під час руху вантажів, якщо маса блоку рівномірно розподілена по ободу.
2.22.Тонкий однорідний стержень завдовжки 50 см і масою 400 г обертається з кутовим прискоренням 3 рад/с2 навколо осі, що проходить перпендикулярно до стержня через його середину. Визначити обертальний момент.
2.23.З вершини похилої площини, яка має довжину 10 м і висоту 5 м, починає рухатися без початкової швидкості тіло. Який час буде продовжуватися рух тіла до основи похилої площини і яку швидкість воно буде мати при цьому? Коефіцієнт тертя 0,2.
2.24.Автомобіль масою 4 т рухається угору з прискоренням 0,2 м/с2. Знайти силу тяги, якщо уклін гори дорівнює 0,02 і коефіцієнт тертя 0,04.
2.25.Вантаж масою 5 кг рівномірно переміщують по горизонтальній площині. Вірьовка, за яку тягнуть вантаж, утворює кут 60° з горизонтом. Коефіцієнт тертя вантажу по поверхні 0,3. Визначити силу натягу вірьовки.
2.26.Куля масою 10 кг і радіусом 20 см обертається навколо осі, що проходить через його центр. Рівняння обертання кулі має вигляд ϕ = А+Вt2+Ct3, де В = 4 рад/с2; С = -1рад/с3. Знайти закон зміни моменту сил, які діють на кулю. Визначити момент сили при t = 2 с.
2.27.Кулька масою m = 50 г обертається на гумовому шнурі, роблячи п = 180 об/хв. На скільки розтягується шнур при обертанні? Розтяг вважати пропорційним прикладеній силі; під дією 9,8 Н шнур розтягується на 1 см. Довжина шнура в не розтягнутому стані L = З0 см.
2.28.На гладенькій площині, яка утворює кут 30° з горизонтом, знаходиться тіло масою 50 кг, на яке діє горизонтальна сила 294 Н. Знайти прискорення тіла і силу нормального тиску. Тертя не враховувати.
2.29.До одного кінця нитки, що перекинута через блок, підвішено вантаж масою 500 г, а до іншого – вантаж масою 300 г. Знайти прискорення системи та швидкість через 1,2 с після початку руху. Тертя не враховувати, масами блока і нитки знехтувати.
2.30.На горизонтальному диску на відстані R = 0,5 м від осі обертання лежить тіло масою m = 1 кг. Коефіцієнт тертя ковзання між тілом і диском μ = 0,25. Яка сила тертя утримує тіло на диску, якщо диск робить п = 12 об/хв?
23
Тема 3. Закони збереження в механіці
Закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу є точними законами, які строго виконуються для замкнених систем. При розв’язуванні задач на закони збереження в механіці слід мати на увазі, що як імпульс, так й енергія залежать від вибору системи відліку. Тому при складанні системи рівнянь, що віддзеркалюють ці закони, необхідно розглядати усі рухи тіл у одній системі відліку.
Якщо у системі відбувається швидка зміна імпульсу, що викликана взаємодією тіл, то тривалість взаємодії вважається безкінечно малою. Це дозволяє застосовувати закон збереження імпульсу у випадках, коли на систему діють зовнішні сили (незамкнена система). Зміна повної механічної енергії у випадку незамкненої системи дорівнює роботі зовнішніх сил. Якщо діючими силами є сили опору, то механічна енергія повністю або частково переходить у внутрішню енергію.
Методичні рекомендації
При розв’язанні задач на закони збереження імпульсу і моменту імпульсу доцільно використовувати наступні методичні вказівки:
1.На схематичному рисунку вказати положення системи тіл до і після взаємодії. Вказати напрями швидкостей або імпульсів тіл. Обрати систему відліку, вказати додатний напрям координатних осей.
2.З’ясувати чи є система тіл замкненою, або якщо вона незамкнена, чи можливо знайти такий напрям, для якого систему можна вважати замкненою.
3.Записати закон збереження імпульсу (моменту імпульсу) у векторній і скалярній формах.
4.Скласти відповідну систему рівнянь, знайти шукану величину.
5.Якщо систему неможна вважати замкненою, то відбувається зміна імпульсу системи тіл яка дорівнює імпульсу діючих зовнішніх сил: pr = F t .
При розв’язанні задач на закон збереження механічної енергії доцільно використовувати наступні методичні вказівки:
1.На схематичному рисунку вказати всі стани системи, а також нульовий рівень відліку потенціальної енергії.
2.З’ясувати яку енергію має тіло у кожному стані системи. Записати повну енергію у кожному стані.
3.Для замкненої системи, в якій діють лише сили тяжіння та пружності записати закон збереження енергії: E1 = E2 =K= En .
4.Для незамкненої системи виконується рівність зміни механічної енергії роботі зовнішніх сил: E = A.
5.Скласти відповідну систему рівнянь, знайти шукану величину.
Основні закони та формули
1.Закон збереження імпульсу
n |
r |
n |
r |
(3.1) |
∑pi = ∑miυi = const |
||||
i=1 |
|
i=1 |
|
|
2.Механічна енергія
Кінетична енергія поступального руху
Ek = |
p2 |
= |
mυ2 |
(3.2) |
|
2m |
2 |
||||
|
|
|
Кінетична енергія обертального руху
Ek = |
Iω |
2 |
(3.3) |
2 |
|
||
|
|
|
24
Потенціальна енергія
|
пружнодеформованого тіла |
E p = |
|
kx2 |
|
|
|
|
(3.4) |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гравітаційної взаємодії двох тіл |
E p = G |
m1m2 |
|
|
|
|
|
(3.5) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||
|
тіла у полі сили тяжіння |
Ep = mgh |
|
|
|
|
(3.6) |
||||||
3. |
Закон збереження енергії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ek + E p = const |
|
|
|
|
(3.7) |
|||||||
4. |
Робота і потужність |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
Поступальний рух (при F = const ) |
A = |
Ek |
= FS cosα; N = |
= Fυ cosα |
(3.8) |
|||||||
|
t |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
Обертальний рух (при M = const ) |
A = |
Ek |
|
|
= Mϕ; N = |
= Mω |
(3.9) |
|||||
|
|
|
t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Закон збереження моменту імпульсу
n |
n |
|
∑Lri = ∑Iiωri = const |
(3.10) |
|
i=1 |
i=1 |
|
Приклади розв’язування задач
Приклад № 1
З якої мінімальної висоти треба з’їхати велосипедисту, щоб за інерцією проїхати “мертву петлю” радіусом 3 м. Маса велосипедиста разом з велосипедом 75 кг, причому на колеса припадає маса 3 кг. Колеса вважати обручами.
R = 3м |
|
|
Розглянемо два стани велосипедиста: |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
m = 75 кг |
|
I. |
Велосипедист у початковій точці |
|
|||||||
m1 = 3 кг |
|
II. Велосипедист у верхній точці “мертвої петлі” |
|
||||||||
h – ? |
|
|
Оберемо нульовий рівень потенціальної енергії на |
|
|||||||
|
|
|
рівні пола і запишемо для кожного стану повну |
|
|||||||
механічну енергію. |
|
|
|
|
|
|
Рис.3.1 |
||||
І. EI |
= E p1 = mgh |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ІІ. EII = |
E p2 + Ek 2 |
= mg2R + |
Iω |
2 |
+ |
|
mυ2 |
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
де I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– |
момент |
інерції колеса |
велосипеда, ω – кутова швидкість обертання колеса |
||||||||
велосипеда, υ – швидкість поступального руху велосипедиста.
У стані ІІ кінетична енергія складається з двох частин: кінетичної енергії обертального руху колес велосипеда і кінетичної енергії поступального руху велосипедиста разом з велосипедом.
Оскільки тертям ми нехтуємо, то закон збереження повної механічної енергії запишеться у вигляді
EI = EII |
|
|
|
|
|
(1) |
mgh = mg2R + |
Iω |
2 |
+ |
mυ |
2 |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
||
Отже, для знаходження висоти h з рівняння (1), необхідно додатково розрахувати момент інерції I , кутову швидкість ω і швидкість поступального руху υ .
Для колеса маємо
I = m R2 |
; ω = |
υ |
|
|
|||
1 |
1 |
|
R1 |
|
|
|
|
25
де R1 – радіус колеса.
Тому для кінетичної енергії обертального руху колес отримаємо
E |
|
= |
Iω2 |
= |
m R2 |
υ2 |
= |
m υ2 |
(2) |
|
k об |
|
1 1 |
R2 |
1 |
||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Визначимо швидкість проходження велосипедистом верхньої точки петлі, використовуючи
для цього другий закон Ньютона. У цій точці на велосипедиста діє дві сили: сила тяжіння |
||
mg і сила реакції опори Nr |
, які обидві напрямлені вертикально вниз. |
|
|
mgr + N = mar |
|
|
OY : mg + N = ma |
(3) |
Оскільки за умовою задачі розглядається граничний випадок, коли велосипедист ще не відривається від верхньої точки петлі, то неважко зрозуміти, що це відповідає умові N = 0 . Таким чином, рівняння (3) набуває вигляду
mg = ma a = g |
(3а) |
З урахуванням того, що прискорення велосипедиста при проходженні петлі є доцентровим
( a = |
υ2 |
), для швидкості у верхній точці маємо |
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
υ2 = gR |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
З урахуванням (2) і (4) рівняння (1) набуває вигляду |
|
|
|
||||||||
|
|
mgh = mg2R + |
m1 gR |
|
+ |
mgR |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
Звідки для висоти остаточно отримаємо |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
h = 2R + |
R |
m |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
(5) |
||||
|
|
2 |
|
m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[h]= м+ м кгкг = м Відповідь: h = 7,56 м.
Приклад № 2
З гармати масою m1 = 500 кг, яка рухається горизонтально зі швидкістю 3 м/с, зроблено постріл під кутом 30° у напрямі руху. Маса снаряду m2 = 4 кг. Знайти швидкість снаряду, якщо гармата після пострілу набуває швидкості 2 м/с у зворотному напрямі.
m1 |
= 500 кг |
|
|
|
|
|
|
|
до взаємодії |
||||||
|
|
|
після взаємодії |
||||
υ1 = 3 м/с |
|
|
|
|
υr2' |
|
|
α = 30 ° |
|
|
|
r |
υr' |
|
|
m2 |
= 4 кг |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
= 2 м/с |
|
υ1 |
|
υ |
' |
|
|
|
1 |
|
||||
υ1 |
|
|
|
|
|
||
υ2' −? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3.2
Запишемо закон збереження імпульсу для даної ситуації (вважаємо, що до взаємодії снаряд знаходився у стволі гармати):
(m1 + m2 )υr1 = m1υr1' + m2υr2'
Спроектуємо це рівняння на вісь ОХ
(m1 + m2 )υ1 = −m1υ1' + m2υ2' cosα (1)
З рівняння (1) негайно знаходимо шукану швидкість снаряду:
26
|
|
υ2' = |
(m + m |
2 |
)υ |
1 |
+ m υ' |
(2) |
|
|
|
1 |
|
1 1 |
|||||
[υ2' ]= |
кг м/ с |
m2 cosα |
|||||||
|
|
||||||||
= м/ с |
|
|
|
|
|
|
|||
кг |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Відповідь: υ2' |
= 725,15 м/с |
|
|
|
|
|
|
||
Приклад № 3
Платформа у вигляді диску радіусом R =1 м обертається за інерцією з частотою v = 6 хв.-1. |
|
На краю платформи стоїть людина масою m = 80 кг. З якою частотою v2 |
1 |
буде обертатися |
|
платформа, якщо людина перейде у її центр? Момент інерції платформи |
Iпл =120 кг м2. |
Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.
R =1 м |
|
до взаємодії |
|
|
|
|
після взаємодії |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
v |
= 6 хв.-1= 0,1 с-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 80 кг |
|
|
ω1 |
|
|
|
|
|
|
ω2 |
||
I |
|
=120 кг м2 |
|
L |
|
|
|
|
L |
|
||
пл |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
– ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Людина разом із платформою |
|
|
|
Рис.3.3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
складають замкнену систему, тому момент імпульсу цієї системи повинен мати стале значення. Отже, для даного випадку закон збереження моменту імпульсу має вигляд:
L1 = L2 OY : L1 = L2 |
(1) |
Момент імпульсу системи до взаємодії (людина на краю) складається з моменту імпульсу людини і моменту імпульсу платформи:
L1 = L1 л + L1 пл = I лω1 + Iплω1 = 2πv1 (I л + Іпл ) |
(2) |
Момент імпульсу системи після взаємодії (людина у центрі) складається тільки з моменту імпульсу платформи, оскільки момент імпульсу людини у центрі платформи дорівнює нулеві:
|
|
|
|
L2 = L2 пл = Iплω2 = Іпл 2πv2 |
(3) |
||
З урахуванням (2) і (3) закон збереження (1) набуває вигляду |
|
||||||
|
|
|
|
2πv1 (I л + Іпл )= 2πv2 Iпл |
(4) |
||
де момент інерції людини на краю платформи, згідно умови задачі, дорівнює Іл = mR2 . |
|
||||||
Таким чином, остаточно отримаємо |
|
||||||
|
|
|
|
v2 = |
(Iпл + mR2 )v1 |
|
(5) |
|
|
|
Iпл |
||||
|
|
|
|
|
|
||
[v2 ]= |
кг м2 1/ с |
= |
1 |
|
|
|
|
кг м2 |
с |
|
|||||
|
|
|
|||||
Відповідь: v2 = 0,167 1/с = 10 1/хв.
Приклад № 4
Визначити роботу піднімання вантажу уздовж похилої площини, середню потужність і ККД підйомного пристрою, якщо маса вантажу 100 кг, довжина похилої площини 2 м, кут її
27
нахилу до горизонту 30°, коефіцієнт тертя 0,1, прискорення при підйомі 1 м/с2. Біля початку похилої площини вантаж знаходився у спокою.
m =100 кг
L = 2 м
α = 30°
μ = 0,1
a =1 м/с2
A, N, η –?
Розглянута в задачі система не є замкненою, тому механічна енергія не зберігається, але зміна повної механічної енергії дорівнюватиме роботі зовнішніх сил – у даному випадку сили тяги та сили тертя.
A + Aтр = E = EII − EI |
(1) |
Оберемо |
нульовий |
рівень потенціальної |
Рис.3.4 |
|
енергії на початку похилої |
площини і |
розглянемо два стани |
||
|
системи: початковий стан на початку похилої площини, кінцевий – на вершині. За умовою задачі у стані І тіло знаходилося у стані спокою, отже в прийнятих умовах EI = 0 , у стані ІІ
EII = Ek + Ep = m2υ2 + mgh , де υ – швидкість вантажу на вершині похилої площини, h –
висота похилої площини, для знаходження цих параметрів застосуємо відомі кінематичні та геометричні співвідношення:
Sx = |
υ2 |
−υ2 |
υ2 |
L = |
υ |
2 |
υ2 |
= 2aL |
|
||
x |
0 x = |
|
x |
|
|
(2) |
|||||
|
2ax |
2a |
|||||||||
|
2ax |
|
|
|
|
||||||
|
|
sinα = |
h |
|
h = L sinα |
|
(3) |
||||
|
|
L |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З урахуванням вище викладених фактів рівняння (1) перепишемо у вигляді: |
|
||||||||||
|
|
A + Aтр = maL + mgLsinα |
|
(4) |
|||||||
Робота сил тертя є від’ємною, оскільки сила тертя спрямована проти руху тіла, і визначається наступним чином
Aтр = −Fтр L = −μNL = −μmgL cosα |
(5) |
Отже, рівняння (5) запишемо
A − μmgL cosα = maL + mgL sinα A = mL(a + g sinα + μg cosα)
[A]= кг м м/ с2 = Н м = Дж; A =1,35 кДж
Середня потужність підйомного пристрою
N = At
де t – час підйому вантажу, який можна розрахувати з рівняння рівноприскореного руху
r |
r |
art 2 |
Sx =υ0 xt + |
a |
t 2 |
L = |
at 2 |
t = |
2L |
S |
=υ0t + |
2 |
x |
|
2 |
a |
|||
|
|
|
2 |
|
|
||||
З урахуванням (8) рівняння (7) приймає вигляд:
N = 2AL
a
[N ]= |
Дж |
= |
Дж |
= Вт; N = 675 Вт |
|
м |
|
с |
|
м/ с2
За означенням, ККД підйомного пристрою дорівнює
η= Ak
Aп
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
28
де Ап = А =1,35 кДж – повна робота, яку здійснює підйомний |
пристрій, |
||
Ak = mgh = mgLsinα – корисна робота. Тому остаточно для ККД маємо |
|
||
η = |
A |
(11) |
|
mgLsinα |
|
||
η = 0,73 = 73 %. |
|
||
Відповідь: А = 1,38 кДж, N = 675 Вт, η = 73 % |
|
||
Задачі контрольного завдання
3.1.Куля масою 10 г підлітає до дошки, маса якої 1 кг, зі швидкістю 600 м/с. Пробивши її у центрі, куля вилітає зі швидкістю 400 м/с. Визначити яка частина втраченої кінетичної енергії кулі пішла на кінетичну енергію дошки, а яка перетворилася у тепло.
3.2.Транспортер піднімає пісок масою 200 кг за 1 с. Довжина плівки транспортера 3 м, кут її нахилу до горизонту 30°, ККД транспортера 0,85. Знайти потужність, яку розвиває двигун транспортера.
3.3.При пострілі з пружинного пістолета вертикально угору, куля масою 20 г піднялася на висоту 5 м. Визначити жорсткість пружини, якщо вона була стиснута на 10 см.
3.4.Куля масою 3 кг рухається зі швидкістю 2 м/с. Відбувається зіткнення з нерухомою кулею масою 5 кг. Яка робота здійснюється при деформації? Зіткнення вважати абсолютно не пружним, прямим, центральним.
3.5. Платформа у вигляді диску радіусом R =10 м обертається за інерцією з частотою v1 . На краю платформи стоїть людина масою m = 75 кг. Після того, як людина перейде у її центр, частота обертання платформи дорівнюватиме v2 =12 хв.-1. Якою була початкова частота обертання платформи v1 ? Момент інерції платформи Iпл =120 кг м2. Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.
3.6.Система складається з двох куль масами 2 кг і 1 кг, які рухаються назустріч зі швидкостями 5 м/с і 4 м/с відповідно. Визначити втрати кінетичної енергії системи внаслідок абсолютно непружнього зіткнення куль.
3.7.Недеформована пружина, що розташована вертикально, має жорсткість 1000 Н/м. До нижнього кінця пружини підвісили вантаж масою 5 кг і відпустили без початкової швидкості. На скільки сантиметрів опуститься вантаж? Масою пружини знехтувати.
3.8.Дві однакові кулі масою по 4 кг кожний після зіткнення починають рухатися разом. Яка кількість теплоти виділяється при зіткненні куль, якщо один з них до удару мав швидкість 5 м/с, а інший був нерухомий?
3.9.Кулька масою 200 г падає вертикально. Після удару о підлогу зі швидкістю 22 м/с кулька підстрибує на висоту 16,2 м. Знайти зміну імпульсу.
3.10.У найвищої точці траєкторії снаряд розривається на дві частини однакової маси. Одна частина полетіла горизонтально вперед зі швидкістю 800 м/с, інша – назад зі швидкістю 300 м/с. Визначити швидкість снаряду в момент вибуху.
3.11.Літак масою 2 т рухається у горизонтальному напрямі зі швидкістю 50 м/с. Знаходячись на висоті 420 м, він переходить на зниження при вимкнутому двигуні і досягає злітної смуги, маючи швидкість 30 м/с. Визначити роботу сили опору повітря протягом зниження літака.
3.12.З гори висотою 2 м і довжиною основи 5 м скочуються санки. Вони зупиняються після того, як проходять уздовж горизонтальної ділянки шлях 35 м від основи гори. Знайти коефіцієнт тертя.
3.13.Куля масою 200 г, що падає вертикально, у момент удару о підлогу має швидкість 5 м/с. Після удару куля підстрибує на висоту 46 см. Знайти зміну імпульсу під час удару.
3.14.На краю горизонтальної платформи, яка має форму диска радіусом 2 м, стоїть людина масою 80 кг. Маса платформи дорівнює 240 кг. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі, що проходить через її центр. Нехтуючи тертям, знайти, з якою
29
кутовою швидкістю буде обертатися платформа, якщо людина буде йти уздовж її краю зі швидкістю 2 м/с відносно платформи.
3.15.Людина стоїть на лавці Жуковського і ловить рукою м’яч масою 0,4 кг, що летить у горизонтальному напрямі із швидкістю 20 м/с. Траєкторія м’яча проходить на відстані 0,8 м від вертикальної осі обертання лавки. З якою кутовою швидкістю почне обертатися лавка Жуковського з людиною, яка зловила м’яч? Сумарний момент інерції людини і лавки дорівнює 6 кг м2.
3.16.Людина стоїть на лавці Жуковського і тримає у руках стержень, який розташований вертикально уздовж осі обертання лавки. Стержень є віссю обертання колеса, яке
розташоване на верхньому кінці стержню. Лавка нерухома, колесо обертається з частотою 10 с-1. Радіус колеса 20 см, маса 3 кг. Визначити частоту обертання лавки, якщо людина зробить поворот стержню на кут 180°. Сумарний момент інерції людини і лавки 6 кг м2.
3.17.Суцільний циліндр масою 4 кг котиться без проковзування горизонтальною поверхнею. Лінійна швидкість осі циліндра дорівнює 1 м/с. Визначити повну кінетичну енергію циліндра.
3.18.Обруч і суцільний циліндр, які мають однакову масу 2 кг, котяться без проковзування з однаковою лінійною швидкістю 5 м/с. Знайти кінетичні енергії цих тіл.
3.19.Куля котиться без проковзування горизонтальною поверхнею. Повна кінетична енергія кулі дорівнює 14 Дж. Визначити кінетичну енергію поступального та обертального рухів кулі.
3.20.Знайти кінетичну енергію велосипедиста, який рухається зі швидкістю 9 км/год. Маса велосипедиста разом із велосипедом 78 кг, причому на колеса припадає маса 3 кг. Колеса вважати обручами.
3.21.Кінетична енергія вала, який обертається з частотою 5 об/с, дорівнює 60 Дж. Знайти момент імпульсу вала.
3.22.Диск діаметром 60 см і масою 1 кг обертається навколо осі, яка проходить через центр перпендикулярно до його площини, з частотою 20 об/с. Яку роботу необхідно витратити, щоб зупинити диск?
3.23.Визначити лінійну швидкість центру кулі, яка скотилася без проковзування з похилої площини заввишки 1 м.
3.24.Мідна куля (густина міді ρ = 8600 кг/м3) радіусом 10 см обертається з частотою 2 об/с навколо осі, що проходить через його центр. Яку роботу необхідно здійснити, щоб збільшити його кутову швидкість у двічі?
3.25.Скільки часу буде скочуватися без проковзування обруч з похилої площини довжиною 2 м і висотою 10 см?
3.26.З гармати масою 500 кг, що рухається уздовж горизонтальної площини зі швидкістю 3 м/с, зроблено постріл під кутом 45° до горизонту у бік, протилежний руху. Маса снаряду 5 кг. Знайти швидкість снаряду, якщо гармата після пострілу збільшила свою швидкість до 4 м/с.
3.27.Куля масою 10 г летить зі швидкістю 800 м/с, обертаючись навколо поздовжньої осі з частотою 3000 с-1. Приймаючи кулю за циліндр діаметром 8 мм, визначити повну кінетичну енергію кулі.
3.28.Потяг масою 500 т піднімається зі швидкістю 30 км/год уздовж уклону 10 м на 1 км шляху. Коефіцієнт тертя 0,002. Визначити потужність, яку розвиває локомотив потягу.
3.29.Велосипедист повинен проїхати мертву петлю, радіус якої 8 м. З якої висоти велосипедист має розпочати свій рух, щоб не впасти? Тертя не враховувати.
3.30.Куля діаметром 6 см і масою 0,25 кг котиться без проковзування горизонтальною площиною з частотою обертання 4 с-1. Знайти кінетичну енергію кулі.
30