2.3.8 Оптимізація логічних функцій. Карти Карно

Може так статися, що ДДНФ є не оптимальною в сенсі кількості електронних логічних елементів потрібних для її реалізації. Використовуючи закони алгебри Буля (2.1) – (2.12) дану функцію, як правило, вдається оптимізувати. Проте порядок застосування цих законів часто неочевидний, тому для оптимізації складних логічних функцій застосовують математичний апарат, що використовує спеціальне графічне представлення таблиць істинності, яке отримало назву карт Карно.

Карти «Карно» були запропоновані в 1953 фізиком Морісом Карно як вдосконалений варіант діаграм, винайдених в 1952 році Едвардом В. Вейчем, і були покликані допомогти спростити цифрові електронні схеми.

У карту Карно булеві змінні передаються з таблиці істинності і упорядковуються за допомогою коду Грея, в якому кожне наступне число відрізняється від попереднього тільки одним розрядом.

Основним методом мінімізації логічних функцій, представлених у вигляді ДДНФ є операція попарного неповного склеювання і елементарного поглинання. Операція попарного склеювання здійснюється між двома термами (членами), що містять однакові змінні, входження яких (прямі і інверсні) співпадають для всіх змінних, окрім однієї. В цьому випадку всі змінні, окрім однієї, можна винести за дужки, а пряме і інверсне входження однієї змінної, яке залишилися в дужках, піддати склеюванню. Наприклад:

(2.18)

Можливість поглинання виходить з очевидного рівняння (2.6).

Таким чином, головним завданням при мінімізації ДДНФ є пошук термів, придатних до склеювання з подальшим поглинанням, що для великих форм може виявитися достатньо складним завданням. Карти Карно надають наочний спосіб відшукання таких термів.

Карта Карно може бути складена для будь-якої кількості змінних, проте зручно працювати при кількості змінних не більше чотирьох-шести.

Приклади незаповнених карт Карно для трьох і чотири змінних приведені в таблицях 2.9 і 2.10 відповідно.

При складанні карт Карно у вигляді приведеному в таблицях 2.9 і 2.10 в заголовку і крайньому лівому стовпцях указуються порядок аргументів логічній функції і їх значення. Значення аргументів змінюються відповідно до кода Грея, тобто так щоб між сусідніми осередками зміна відбувалася тільки з одним з аргументів функції. Завдяки використанню кода Грея на карті верхній рядок є сусіднім з нижнім, а правий стовпець сусіднім з лівим. Таким чином вся карта Карно згортається у просторову фігуру тор (бублик). Оскільки верхній і нижній рядки в таблиці 2.9 сусідні, то карту Карно функції трьох змінних можна розглядати і як кільце (окремий випадок тора).

Таблиця 2.9 – Карта Карно функції трьох змінних

Х3	Х2, Х1
	10	11	01	00
0	Ка	р	т	а
1	Ка	р	н	о

Таблица 2.10– Карта Карно функции четырех переменных

Х4, Х3	Х2, Х1
	10	11	01	00
00	Ка		т
01		р		а
11	Ка		н
10		р		о

Власне картами Карно є внутрішні області таблиць 2.9 (карта має розмірність 2х4 осередки) і 2.10 (карта має 4х4 осередки). На ці області в даному випадку для наочності умовно нанесені відповідні написи.

Карти Карно для 5 і більше змінних отримують з'єднанням декількох карт вигляду 2.10.

На перетині рядка і стовпця на карті Карно проставляється відповідне значення з таблиці істинності. Зазвичай проставляють тільки одиничні значення, а нульові опускають, оскільки при складанні ДНФ розглядають тільки ті осередки які містять «1». Після того, як Карта заповнена, можна приступати до мінімізації.

Сама мінімізація проводиться за наступними правилами (на прикладі ДНФ):

1) об'єднуємо суміжні одиничні клітинки, в область, так щоб одна вона містила 2n (n ціле число ) клітинок (пам'ятаємо про те, що крайні рядки і стовпці є сусідніми між собою), в області не повинно знаходитися клітинок, що містять нулі;

2) область повинна бути якомога більшою, а кількість областей якомога менше;

3) області можуть перетинатися;

4) можливі декілька варіантів накриття;

5) область повинна розташовуватися симетрично осі(ій) (осі розташовуються через кожні чотири клітки);

6) не суміжні області розташовані симетрично осі(ям) можуть об'єднуватися в одну.

Правила 1 – 4 використовуються у всіх випадках, правила 5 і 6 необхідні тільки при мінімізації функцій 5 і більше змінних.

Як приклад мінімізуємо функцію, задану таблицею істинності 2.8 (інверсний мажоритарний клапан). Даній таблиці істинності відповідатиме карта Карно приведена нижче на рисунку 2.1. На карті позначено три суміжні області S1, S2 і S3, виділені відповідно до приведених вище правил 1÷4 і з урахуванням того, що крайні стовпці карти Карно також вважаються суміжними (область S3).

Для виділених областей складемо логічні вирази і проведемо в них операції склеювання:

(2.19)

(2.20)

(2.21)

Об'єднуємо отримані вирази в ДНФ:

(2.22)

Така ДНФ називається тупиковою (видалення будь-якого аргументу в даній формі приведе до нерівної ДНФ) і в той же самий час мінімальною (що містить мінімальну кількість аргументів).

Для побудови електронної схеми з використанням тільки базових елементів ТТЛ-структур, тобто «І-НЕ» скористаємося законом Моргана і подвійного заперечення:

(2.23)

Виразу (2.23) відповідає схема, приведена на рисунку 2.2.