2.3.7 Побудова логічних функцій трьох і більше аргументів

Будь-яку булеву функцію від будь-якого числа аргументів можна представити у вигляді комбінації функцій від 1 і 2 аргументів (принцип суперпозиції в алгебрі Буля). Цей важливий факт дозволяє, наприклад, обійтися в складних мікросхемах лише декількома елементами, а на їх основі будувати будь-які інші логічні схеми.

Логічні функції декількох змінних використовуються при побудові логічних автоматів, вживаних в системах автоматичного керування технологічними процесами.

Розглянемо наступне завдання автоматичного керування. Пристрій автоматичного керування складається з 3-х незалежних ідентичних технологічних блоків з датчиками контролю працездатності кожного з них і автомата аварійного перемикання. Датчики контролю видають високий рівень напруги при справному блоці і нульовий при несправному.

Автомат аварійного перемикання включається (відповідає логічній «1» на виході), якщо фіксується несправність двох або трьох блоків одночасно. Функції, що описують роботу автомата перемикання, задається таблицею 2.8. Порядок аргументів в таблиці 2.8 відповідає так званій «одиниці, що біжить» або двійковому представленню номерів рядків цієї таблиці. Аргументами даної функції є виходи датчиків технологічних блоків, сигнали яких позначені як . Стан виходу автомату перемикання характеризує змінна.

Таблиця 2.8 - Таблиця істинності логічного автомата

№
0	0	0	0	1
1	0	0	1	1
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	0
6	1	1	0	0
7	1	1	1	0

Складаємо логічну функцію таким чином:

1) для кожного рядка з одиницею в крайньому правому стовпці складаємо окреме рівняння;

2) у кожне рівняння вставляємо послідовність з простих елементів, об'єднаних операцією логічного множення: для елементу таблиці, де проставлена 1, пишемо змінну-аргумент, а для кожного осередку, де проставлений 0, пишемо змінну-аргумент з інверсією. Таблиці істинності 2.8 відповідають наступні рівняння (у рівняннях через позначені проміжні вихідні змінні, відповідні рядкам 1,2,3 і 5):

(2.13)

3) об'єднуємо проміжні змінні функцією логічного складання:

(2.14)

Підставляючи (2.14) в (2.13) остаточно отримуємо:

(2.15)

Така форма представлення логічної функції називається диз'юнктивною нормальною формою (ДНФ), тобто формою диз'юнкціЇ від кон'юнкцій аргументів логічної функції. Окремі члени у виразі вигляду (2.15) ще називають термами (- перший терм,- другий терм, і так далі).

У випадку якщо в ДНФ всі терми містять всі аргументи описуваної функції, причому усередині термів аргументи або їх інверсії записані в одному і тому ж порядку, то таку ДНФ називаю досконалою диз'юнктивною нормальною формою уявлення (ДДНФ). Таким чином, (2.15) є ДДНФ.

Використовуючи функції Моргана і подвійного заперечення рівняння (2.13), (2.14), (2.15) можна привести до єдиного базису (єдиної базовї функції). Приведемо дані рівняння до базису «І-НЕ» (штрих Шеффера). Скористаємося для цього рівнянням (2.14):

(2.16)

Підставляючи (2.14) в (2.16) остаточно отримуємо:

(2.17)

Логічна функція (2.17) реалізує роботу автомата захисту даного технологічного об'єкту. Причому в даному випадку автомат може бути реалізований з використанням винятково базових елементів ТТЛ структури, тобто елементів «І-НЕ».

Слід зазначити, що функція трьох змінних приведена в таблиці 2.8 має самостійне найменування, а саме, інверсна мажоритарна функція або інверсний мажоритарний клапан.