- •Міністерство освіти і науки україни
- •Матриці і операції над ними. Визначники матриць. Властивості визначників. Обернена матриця.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера:
- •Дослідити на сумісність системи лінійних рівнянь та знайти їх розв’язок у випадку сумісності:
- •Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:
- •Завдання для самостійної роботи.
- •3.Вектори в просторі. Основні поняття. Лінійні операції з векторами. Прямокутна система координат у просторі.
- •Довжину вектора будемо позначати таким чином:
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Застосування в задачах геометрії. Умови перпендикулярності та компланарності векторів.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •5.Загальне і канонічне рівняння прямої. Рівняння прямої у відрізках на осях. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки. Перетин двох прямих.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •6. Кут між двома прямими. Пучок прямих, які проходять через дану точку. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •7. Криві другого порядку: коло, еліпс.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •8. Криві другого порядку: гіпербола, парабола.
- •I. Гіпербола
- •II.Парабола
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •9. Рівняння площини в просторі.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •10. Пряма в просторі. Площина і пряма.
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи.
- •11. Нескінченна числова послідовність. Границя числової послідовності і її властивості. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •12. Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Основні правила диференціювання.
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи.
- •Література
Зразки розв’язування задач.
Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера:
Розв’язання:
Заходимо визначник системи
, тому система має єдиний розв’язок . Знаходимо .
За формулами Крамера , маємо:
б) Знаходимо визначник системи:
Система має єдиний розв’язок. Знаходимо
За формулами Крамера, маємо:
Дослідити на сумісність системи лінійних рівнянь та знайти їх розв’язок у випадку сумісності:
а) б)
Розв’язання:
Обчислемо визначник системи:
Визначник системи дорівнює нулю. Система або має безліч розв’язків, або не має жодного розв’язку. Знаходимо
Оскільки, , то система сумісна і невизначена. Для знаходження всіх розв’язків, відкидаємо третє рівняння, а рівняння , що залишилися, записуємо у вигляді:
Розв’язуємо отриману систему за формулами Крамера:
;
б) , тому що другий і третій рядки пропорційні.
Система або має безліч розв’язків, або не має жодного розв’язку.
Отже, задана система не має жодного розв’язку, тобто вона є несумісною.
Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:
Розв’язання:
Запишемо дану систему рівнянь у матричній формі: де
значить матриця А має обернену матрицю.
Знайдемо алгебричні доповнення елементів матриці А :
Скориставшись рівністю , знаходимо розв’язок системи:
- шуканий розв’язок.
Завдання для самостійної роботи.
Розв’язати системи лінійних рівнянь за формулами Крамера:
а) б)
Визначити, при яких значеннях а і b система
а) має один розв’язок;
б) має безліч розв’язків;
в) не має жодного розв’язку.
Розв’язати системи лінійних рівнянь матричним методом:
а) б)
3.Вектори в просторі. Основні поняття. Лінійні операції з векторами. Прямокутна система координат у просторі.
Розглянемо напрямлений відрізок , деА – початок, В – кінець. Будемо називати його вектором.
Довжину вектора будемо позначати таким чином:
.
Додавання векторів.
Щ
Рис.
3.1
Цей спосіб побудови називається правилом паралелограма.
Суму двох векторів можно побудувати ще й за правилом трикутника.
В
Рис.
3.2
Щ
Рис.
3.3
Віднімання векоторів.
Щ
Рис.
3.4
Множення вектора на число.
Добутком ненульового вектора на числоk називається вектор, який має напрям вектора , якщо, і протинапрям, якщо(при ,).
Ці три операції називаються лінійними операціями з векторами.
Проекція вектора на вісь.
П
Рис.
3.5
, .
Властивості проекції.
;
б) ;
в) .
Прямокутна система координат.
Нехай у просторі задано три попарно перпендикулярні осі OX, OY, OZ. Координатами вектора на осі називаються проекції вектора на ці осі:
, ,.
Якщо - одиничні вектори, що напрямлені поOX, OY, OZ, то .
Якщо ,то координати вектора .
Правила дій над векторами, заданими своїми координатами.
Якщо ,, то
;
;
.
Довжина вектора. Напрямлені косинуси вектора.
;
; ;,
де - кути міжта осямиOX, OY, OZ.
Для напрямлених конусів справедливо співвідношення:
Поділ відрізка в даному відношенні.
Нехай точки А, В мають координати ,.
Якщо відрізок АВ поділимо точкою М у відношенні: , то координати точкиМ знаходять за формулами:
; .
Якщо , то отримуємо формули для знаходження координат середини відрізка.