12. Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Основні правила диференціювання.

Похідною функції в точціназивається границя відношення приросту функціїфункції в цій точці до приростуаргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

Наводимо таблицю похідних основних елементарних функцій.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

При знаходженні похідної функції користуються також основними правилами диференціювання.

1. , дес – стала.

2. , де- функція.

3. .

4. .

Якщо у є функція від :, де, у свою чергу є функція від аргументух: , тобто залежить відх через проміжний аргумент ,у називається складеною функцією від х (функцією від функції): .

Похідна складеної функції дорівнює добутку її похідної за проміжним аргументом на похідну цього аргументу за незалежною змінною:

.

Якщо функція у від х задана параметричними рівняннями ,(- параметр), похіднаобчисляється за формулою.

Геометричний зміст похідної у точціу тому, що вона дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до кривоїу точці з абсцисою. Рівняння дотичної до кривоїв точці з абсцисоюмає вигляд:

.

Другою похідною функції називається похідна від першої похідної цієї функції:

.

Друга похідна параметрично заданої функції обчисляється за формулою:

.

Зразки розв’язування задач

Задача 1. Знайти похідні функцій:

1) , 2), 3),

4) , 5).

Розв’язання.

1) Винесемо сталий множник за знак похідної, а потім застосуємо формулу 2 таблиці похідних

.

Аналогічно дістанемо:

2) .

3) .

4) .

5) .

Задача 2. Знайти похідні функції:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Розв’язання.

1) Знайдемо похідну від алгебраїчної суми як алгебраїчну суми похідних доданків:

2) .

3) Знайдемо похідну за основним правилом 3:

.

4) Використаємо правило 4:

.

5)

Задача 3. Знайти похідні складених функцій:

1) ;

2);

3) ;

4) ;

5) .

Розв’язання.

1) Знайдемо похідну від першого доданку за формулою:

, де .

Тоді

.

Похідну від другого доданку знайдемо аналогічно:

.

Загалом

.

2)

.

3)

.

4)

5) =

.

Задача 4. Обчислити значення похідної функції у точціх=2а.

Розв’язання:

.

Задача 5. Знайти похідну параметрично заданої функції:

, .

Розв’язання. Знайдемо

;

;

.

Задача 6. Знайти похідну неявно заданої функції:

1) ;

2) .

1) Диференціюємо по х ліву і праву частину рівняння, враховуючи, що y – це функція від х:

.

Розв’язуємо рівняння відносно .

;

.

2) Диференціюємо по х:

;

;

;

;

.

Задача 7. Скласти рівняння дотичних до кривих:

1) у точці з абсцисою;

2) у точці де,;

3) у точці.

Розв’язання:

1) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої:

, ,

а також .

Підставимо в рівняння дотичної:

;

;

.

2) .

;

.

Знайдемо координати точки М₀, через яку проведена дотична: ,.

Рівняння дотичної

;

.

3) Знайдемо похідну неявної функції:

;

;

.

Рівняння дотичної:

;

;

.

Задача 8. Знайти похідну другого порядку функції:

1) ;

2) ;

3) .

Розв’язання:

1) Знайдемо

;

.

2) ;

; ;

.

;

;

.

3) ;

;

;

;

.

Диференціюємо по х ще раз, а потім підставимо замість її вираз черезх.

.