Физика / 12.________ _______ ______ __ _________ ________
.pdf
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки 96
L |
|
L |
|
|
|
L |
L |
|
|
|
|
|
|||||
∫ cos(2 nπ x) dx = |
sin(2n |
π x) |
|
|
= 0, ∫ dx = L . |
|||
|
||||||||
0 |
L |
2nπ) |
|
L |
|
0 |
0 |
|
|
|
|||||||
Тепер
L
∫ Ψn (x,t)
0
Ψ* (x,t) dx = |
2 |
|
L |
L |
dx =1. |
(12) |
n |
L |
|
∫ 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Вирази (11-12) доводять співвідношення ортонормованості Ψ-функцій
(10).
§ 46. Гармонічний осцилятор
Гармонічним осцилятором називають частинку, що здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = −kx , де k коефіцієнт пружності. Потенціальна енергія
осцилятора |
|
U(x) = |
kx2 |
|||
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(див.Мал.61), |
а |
власна |
частота |
|||
ω = |
k , де |
m |
маса |
частинки, |
||
|
m |
|
|
|
|
|
тобто
mω2 x2 . 2
В одновимірному просторі стаціонарне рівняння Шредінгера для осцилятора можна записати у вигляді
d2ψ |
+ |
2m |
|
(E − |
mω2x2 |
)ψ = 0 . |
dx2 |
h2 |
|
||||
|
2 |
|
||||
Скінчений, однозначний і неперервний розв’язок цього рівняння існує при умові, що
Eν = (21 + ν)hω, ν = 0,1,2,... .
Найменше значення енергії осцилятора, яке дорівнює E0 = 21 hω,
називають нульовою енергією осцилятора і вона визначає його енергію при температурі Т=0 К, тобто при Т=0 К частинки, що знаходяться у вузлах кристалічної решітки здійснюють нульові коливання. Результати дослідів по розсіюванню світла в кристалах при Т 0 підтверджують цю тезу.
Принцип відповідності. В 1923 році Н.Бор установив принцип відповідності, що вимагає перехід наслідків квантової механіки в класичні
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки 97
при ћ→0. Іншими словами в цьому випадку квантово-механічний опис явищ повинен співпадати з класичним. Зокрема, у граничному наближенні до великих квантових чисел квантовий опис також повинен співпадати з класичним.
§ 47. Потенціальний бар’єр та його прозорість
Нехай вільна частинка рухається вздовж осі ОХ в напрямку скінченого потенціального бар’єра U=U0 для 0≤х≤L і U=0 для (x<0, x>L) із енергією E≤U0 (див.Мал.62 а) ). Її рух задається плоскою ψ-хвилею. При падінні частинки на границю бар’єра, вона проникає в нього на деяку глибину хе (глибина, на якій імовірність зменшується в е раз) і з певною ймовірністю може пройти через нього наскрізь або відбитися від нього навіть при Е>U0. Для розв’язку цієї задачі з E<U0 потрібно скористатися відповідними умовами неперервності ψ-функції та її похідних на границях бар’єра. Відповідні розрахунки дають
xe = |
h |
. |
|
8m(U0 −E) |
|
||
|
|
|
|
Оцінка висоти проникнення |
електрона провідності |
над поверхнею |
|
металу показує, що при бар’єрі |
U0 −E ≈ 1eB = 1.6 10−19 |
Дж електрони |
|
виходять із метала на висоту xe≈0.1 нм.
Для прямокутного бар’єра ймовірність D того, що частинка опиниться за бар’єром може бути представлена наближеним виразом
D ≈ exp(−Lh 
Для бар’єра довільної форми (див.Мал.61 б) )
|
1 |
b |
D ≈ exp(− |
∫ 8m(U −E)dx). |
|
|
h |
a |
|
|
При подоланні потенціального бар’єра частинка начебто проходить через "тунель". Саме тому явище проходження частинкою бар’єра називають тунельним ефектом. Тунельний ефект дозволив пояснити цілий ряд фізичних
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки 98
явищ, які не мали пояснення з класичної точки зору. Зокрема, явище автоемісії, яке полягає в тому, що під дією сильного електричного поля, створеного при поверхні металу, спостерігається виліт електронів із металу. Таке поле перетворює потенціальний бар’єр на поверхні провідника в скінчений. В результаті стає можливим тунелювання електронів за поверхню металу.
§ 48. Квантування моменту імпульсу
Існує чотири квантові оператори, за допомогою яких визначається момент імпульсу частинки: оператор квадрата моменту імпульсу L)2 , та три оператори проекцій імпульсу L)x ,L)y ,L)z . Згідно принципу невизначеностей, одночасно можуть бути визначені лише квадрат моменту та одна з його
проекцій. Розв’язок операторного рівняння
L)2ψ = L2ψ
має результатом власне значення
L2 = l(l +1),
де l=0,1,2,... азимутальне квантове число й модуль моменту імпульсу квантується
L = h l(l +1) .
У сферичній системі координат (r,ϑ,ϕ)
L)Z = −ih ∂∂ϕ
і відповідне рівняння
−ih ∂∂ψϕ = Lz ψ.
Підстановкою ψ=eαϕ одержимо
−ih α = Lz і α = hi Lz ,
i Lz ϕ
а розв’язком буде ψ = Ae h . Умовою однозначності розв’язку є
ψ(ϕ+2π)=ψ(ϕ),
тобто
|
i |
Lz (ϕ+2π) |
|
i |
Lz ϕ |
|
|
|
|||
e h |
= e h . |
||||
Ця умова виконується якщо покласти Lz = mh, де m=0,±1,±2,±3,... магнітне квантове число. Проекція не може бути більша величини вектора,
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки 99
тобто L>Lz і | mh |≤ l(l +1) , тобто найбільше значення m дорівнює l: m=0,-
±1,±2,±3,...±l.
Момент імпульсу системи частинок дорівнює сумі моментів цих частинок, яка також квантується і записується у вигляді | L |= L(L +1) , де L
азимутальне квантове число системи частинок. Найбільше значення L буде коли моменти мають один напрямок і найменше при протилежних напрямках моментів частинок. Наприклад, якщо система складається з двох частинок, то L=l1+l2, l1+l2-1, ... ,| l1-l2|.
§ 49. Воднеподібні атоми
До воднеподібних атомів відносяться власне водень та група одновалентних лужних елементів, однократно іонізований атом гелію He + ,
двічі іонізований атом літію Li++ і т.п. Потенціальна енергія електрона у таких атомах у полі ядра із зарядом Ze записується у вигляді
U = −k Zer 2 ,
де r відстань електрона від ядра. При цьому рівняння Шредінгера запишеться так
∆ψ + |
2m |
(E +k |
Ze2 |
)ψ = 0. |
(1) |
||
h2 |
|
r |
|||||
|
|
|
|
||||
Зважаючи на сферичну симетрію воднеподібних атомів, вводяться сферична система координат і в ній рівняння Шредінгера записується у виді
∆rϑϕψ(r,ϑ,ϕ) + |
2m |
(E + k |
Ze2 |
)ψ(r,ϑ,ϕ) = 0 . |
(2) |
|
h2 |
r |
|||||
|
|
|
|
Не приводячи у явному вигляді вираз лапласіана ∆rϑϕ у сферичній системі координат, вкажемо, що розв’язок рівняння (2) знаходиться у вигляді
ψ(r,ϑ,ϕ) = Rnl(r) Ylm(ϑ,ϕ) |
(3) |
В (3) Rnl(r) радіальна хвильова функція, |
Ylm(ϑ,ϕ) сферична |
хвильова функція. Числа n,l,m мають назву квантових чисел:
•n=1,2,3,… головне квантове число, що визначає енергію електрона у атомі та ймовірність знаходження електрона на відстані r від ядра. Усі електрони атома з однаковим головним квантовим числом формують його енергетичну оболонку.
•l=0,1,2,…,n-1 – азимутальне (орбітальне) квантове число, що визначає момент імпульсу електрона у атомі. Азимутальне квантове число формує підоболонку електронів з однаковим моментом імпульсу.
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки 100
• |
m=0, ± 1, ± 2, ... , ± l – магнітне квантове число, що визначає |
|||||
проекцію |
моменту імпульсу на вісь |
|
r |
ототожнюють із напрямком |
||
Z , яку |
||||||
|
r |
|
|
|
|
|
вектора магнітної індукції B зовнішнього електромагнітного поля. |
||||||
а). Власні значення енергії. Власне значення енергії електрона в полі |
||||||
ядра дискретне і має вигляд |
|
|
|
|
||
|
En = −k2 |
me4 |
|
Z2 |
, |
(1) |
|
2h2 |
|
||||
|
|
|
n2 |
|
||
а для електрона не зв’язаного з ядром енергія Е>0 і неперервна. Найменша
величина енергії водню ε0 буде при n=1 і |
|
|
|
|||||
ε0 = |
(9 109 )2 |
9.1 10−31 |
(1.6 |
10−19 )4 |
, |
|||
2 (1.055 10−34 )2 |
||||||||
|
|
(2) |
||||||
ε0 |
= 2.17 10−18 Дж = 13.6 eB. |
|
||||||
Використовуючи (2) можна записати |
Z2 |
|
|
|
|
|||
|
En = −ε0 |
. |
|
(3) |
|
|||
|
n2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Число N можливих станів у межах енергетичної оболонки визначається |
||||||||
сумою Nm по всім можливим значенням l |
|
|
|
|||||
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N = ∑(2l +1) = n |
2 |
(4) |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
і знаходиться як сума n членів арифметичної прогресії з різницею d=3, першим членом а1=1 та n-м членом аn=2n-1
Sn = 12 (a1 + an ) n = 12 (1+ 2n −1) n = n2 .
Усі можливі стани атома водню класифікуються умовними позначеннями через позначення енергетичних оболонок n та їх підоболонок l за схемою, поданою в таблиці. Випромінювання та поглинання світла атомом відбувається з певними обмеженнями, які ще називають правилами відбору.
Номер |
Підоболонки число станів з урахуванням |
число станів в |
|||
оболонки |
|
значення спіна |
|
оболонці |
|
n |
l=1 |
l=2 |
l=3 |
l=4 |
|
1 |
1s 2 |
|
|
|
2 |
2 |
2s 2 |
2p 6 |
|
|
8 |
3 |
3s 2 |
3p 6 |
3d 10 |
|
18 |
4 |
4s 2 |
4p 5 |
4d 10 |
4f 14 |
32 |
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки 101
Виявляється, що при переходах електрона між енергетичними рівнями, у першому наближенні, повинно відбуватися таке обмеження на азимутальне квантове число l
∆l=±1, (5)
яке пов’язане із законом збереження імпульсу, коли враховані імпульси атома й фотона, що випромінюється чи поглинається. Таким чином в атомі можливі переходи
ns mp, np md і т.п.
б). Власні функції. Власні функції ψnlm (r,ϑ,ϕ) є добутком двох множників ψ = Rnl (r,ϑ) Ylm (ϑ,ϕ). Множник Rnl (r,ϑ) є розв′язком радіальної частини рівняння Шредінгера, ядром якого є функція Лагерра. Цей множник залежить від квантових чисел n, l. Сферична функція Ylm (ϑ,ϕ) є розв′язком частини рівняння Шредінгера, яка залежить від кутів ϑi ϕ і визначається квантовими числами l, m. Можна показати, що функція Ylm (ϑ,ϕ) є власною
функцією квадрата моменту імпульсу )l і його проекції )lZ . Густина ймовірності знаходження електрона на відстані r від ядра задається виразом | r R nl |2 і для декількох функцій на малюнку 13 наведена відповідна її залежність від r у мірилі борівського радіуса r0 . З малюнка видно, що
найбільш імовірними є відстані від ядра, що співпадають із радіусами відповідних борівських орбіт.
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки 102
x =
Y00
En
Наведемо декілька значень радіальної та сферичної функцій, поклавши
r (див.Мал.64) r0
R10 (x) = 2 ro−1.5 e−x , R20 (x) = 2 (2r0 )−1.5 e−x / 2 (1− 2x ),
R30 (x) = 2 (3r0 )−1.5 e−x / 3 [1− 2 3x + 32 (3x )2 ].
=41π , Y11 = 
83π sin ϑeiϕ, Y10 = 
43π cos ϑ, Y1−1 = 
83π sin ϑe−iϕ .
в). Принцип відповідності Бора.
Розглянемо одну спільну властивість енергій електрона, що знаходиться у потенціальній ямі, електрона, що здійснює гармонічні коливання (осцилятор) та, на кінець, електрона у воднеподібному атомі. Знайдемо відносні проміжки енергій електронів для перелічених випадків.
1. Для частинки у глибокій потенціальній ямі для енергії справджуються такі співвідношення
= n |
2 π2 h2 |
, ∆En |
= En+1 −En |
= (2n +1) |
π2 h2 |
, η = |
∆En |
= |
2n |
+1 |
. |
||||
|
2mL2 |
|
2mL2 |
En+1 |
(n +1)2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Для гармонічного осцилятора можна записати |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
En = (n + |
1)hω, |
∆En = En +1 |
− En = hω, η= |
∆En = |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
n + 2.5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
En+1 |
|
|
|
||||
3. Для воднеподібних атомів. У випадку n+1-го енергетичного рівня маємо
∆En = En+1 −En = ε0Z |
2 |
[ |
1 |
− |
1 |
] = ε0Z |
2 |
2n |
+1 |
, |
|
n2 |
(n +1)2 |
|
n2(n +1)2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
а відносний проміжок становитиме
η = |
∆En = [ε0Z2 |
2n +1 |
: |
ε0Z2 |
] = |
2n +1 |
. |
n2(n +1)2 |
(n +1)2 |
|
|||||
|
En+1 |
|
|
n2 |
|||
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки 103
Вусіх перелічених випадках при великих числах n (n>>1) маємо η → 0
йенергія стає неперервною. Це означає, що починаючи з деяких значень квантових чисел, енергія частинки може розглядатися як класична.
Одержаний результат є окремим випадком загального принципу відповідності Бора, який він установив в 1923 році стосовно квантової механіки. За цим принципом будь-яка нова, більш узагальнена теорія природних явищ у фізиці, що є розвитком класичної теорії, не відкидає останньої узагалі, а містить її у собі у певних межах застосування, причому у граничних випадках нова теорія переходить у попередню. Так, наприклад,
при малих швидкостях тіл V<<c, релятивістська механіка переходить у класичну, а при h → 0 квантова механіка переходить у класичну.
§50. Дослід Штерна-Герлаха. Спін електрона
У1921 році О.Штерн і В.Герлах провели експеримент, в якому було доведено наявність в атомах магнітного моменту. У ході досліду
проведено експериментальне вимірювання магнітних моментів атомів µ. В атомах із непарним числом електронів слід було очікувати наявність стану, в
якому магнітні моменти пар електронів взаємно компенсуються й залишається лише магнітний момент одного електрона. Так у дослідах із хімічними елементами першої групи періодичної системи Менделєєва був визначений магнітний момент одного електрона. При проходженні атома з
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки |
104 |
||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
r |
|
магнітним моментом µ у сильно неоднорідному магнітному полі з B(z) || Z, |
|||||
r |
|
r |
v |
|
|
|
dB |
|
|||
на нього діє відхиляюча сила F = µz |
, паралельна осі Z . |
|
|||
dz |
r |
||||
|
|
|
|||
Нагадаємо, що потенціальна енергія атома з магнітним моментом µ |
|||||
дорівнює |
r |
|
|
||
r |
|
|
|||
U = −(µ |
B) = −µB cos α = −µzB , |
|
|||
а сила, що діє на атомv може бути визначена через потенціальну енергію так
Fr = −gradU = µz ddzB .Серцевиною досліду була система магнітів спеціальної
форми (див.Мал.65), яка забезпечувала достатню неоднорідність індукції B на відстанях атомних розмірів, а з нею і достатню величину відхиляючої сили F.
Схема досліду, представленого на малюнку, містить колбу з повітрям при малому тискові. В колбі розміщені нагріта до високої температури срібна кулька K, яка випаровує атом; система діафрагм D, що вирізають тонкий пучок атомів; магніт із сильно неоднорідним полем та реєструюча фотопластинка. Пучок атомів срібла проходив сильно відхиляюче магнітне поле і потрапляв на фотопластинку. За класичним уявленням, орієнтація
магнітного моменту є рівно ймовірною по усім напрямкам і значення µZ |
у |
|
інтервалі від 0 |
до деякого максимального µZ,max змінюється неперервно. |
|
|
r |
|
Тому, при проходженні пучка атомів між магнітами у напрямку осі X , він, |
||
повинен був неперервно розмиватися на фотопластинці у напрямку осі |
r |
|
Z , |
||
|
r |
|
утворюючи на ній уздовж Z розмиту пляму S (див.Мал.66). Проте дослід |
||
дав зовсім інші |
результати: після проходження розщіплюючого магнітного |
|
поля, на фотопластинці, замість протяжної плями, були зареєстровані
різко виражені тонкі вертикальні смужки. Це означає, що усуперечr
класичній теорії, магнітні моменти атомівr утворюють із вектором B
дискретні кути, а їх проекція на напрямок B квантується (див.Мал.67).
Спін електрона. Хімічні елементи першої групи, наприклад, Ag, Na, K мають один неспарений валентний електрон, який визначає орбітальний момент імпульсу і магнітний момент атома. В основному стані орбітальне квантове число валентного електрона l=0 і магнітний момент також дорівнює 0. В неоднорідному магнітному полі пучок таких атомів не повинен був би відхилятися від напрямку руху. Однак в експерименті ШтернаГерлаха такі елементи мали дві протилежні проекції магнітного моменту. У цей же час у досліді Ейнштейна та де Гааза було виявлено аномальне
значення гіромагнітного відношення γ = me , а не γ = 2em .
В.М.Клименко. Елементи атомної фізики та квантової механіки 105
Для пояснення цього результату було введено поняття власного моменту імпульсу електрона MS , який назвали спіном електрона. В
подальшому ця гіпотеза одержала багатопланове експериментальне підтвердження.
§ 51. Механічний момент імпульсу та магнітний момент електрона
Гіромагнітне відношення для орбітального руху електрона у атомі має
вид |
|
µ |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
γ = |
|
= − |
|
, |
(1) |
|
|
|
|||
M |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2me |
|
|
|
|
|||||
де µ магнітний момент електрона, |
М його механічний, орбітальний |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
момент імпульсу, е=1.6 10-19 Кл |
||||
|
|
|
|
|
|
|
заряд електрона, а mе його маса. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Власне значення M = h l(l +1) , а |
||||
|
|
|
|
|
|
|
магнітний |
момент |
згідно |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
дорівнює |
|
= eh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ = −µБ |
l(l +1), µБ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
2me |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
µБ = 0.927 10−23 |
Дж/Тл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
магнетон |
Бора. |
Проекція |
||
|
|
|
|
|
|
|
орбітального моменту імпульсу |
||||
Mz = mh, m = 0 ±1,±2,...,±l,
(3)
де m – магнітне квантове число. Відповідна проекція магнітного моменту дорівнює
µz = −µБm. |
(4) |
Спін електрона MS не зв’язаний з орбітальним рухом і визначає
відповідний йому магнітний момент µs. Для цих моментів гіромагнітне відношення
γs = |
µs |
= − |
e |
(5) |
|
me |
|||
|
Ms |
|
||
у два рази більше орбітального. Модуль MS визначається квантовим числом
S = 21 , а його величина дорівнює
Ms = h S(S +1) = h |
3 . |
(6) |
|
2 |
|