Диференціальні та інтегральні залежності при
поперечному згинанні
Розглянемо двохопорну балку з довільним навантаженням (рис.1.16.1.).
На ділянці, де діє розподілене навантаження, виділимо нескінченно малий елемент довжиною dz. Цей елемент під дією поперечних силQіQ + dQі згинальних моментівMіM + dMзнаходиться в рівновазі.
Рис.1.16.1. Схема навантаження двоопорної балки.
Складемо рівняння рівноваги:
- сума проекцій всіх сил на вертикальну вісь:
Y = 0 ; Q + q · dz - (Q + dQ) = 0;
звідси: q = dQ / dz ; (1.16.1)
- сума моментів відносно точки В :
MB = 0 ; M + Q · dz - (M + dM ) + q · dz · dz / 2 = 0;
звідси: Q = dM / dz; (1.16.2)
Підставивши 1.16.2 в 1.16.1 отримуємо:
Q = d2M / dz2 (1.16.3.)
Таким чином, похідна від згинаючого моменту по напрямку осі поперечного переріза дорівнює поперечній силі, а перша похідна від поперечної сили (друга похідна від згинаючого моменту) дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження.
З формул (1.16.1) і (1.16.2) випливають наступні інтегральні залежності:
M
=
Q
·
dz
;
(1.16.4)
Q
=
q
·
dz
;
(1.16.5)
де z0 - координата початку ділянки, z - координата довільного перерізу, що розглядається. Отже, знаючи закон зміни згинаючого моменту на ділянці, можна знайти закон зміни поперечної сили на цій ділянці і навпаки.
1.17. Характерні особливості побудови епюр поперечних сил та згинаючих моментів.
З диференціальних та інтегральних залежностей при поперечному згинанні випливають наступні закономірності побудови епюр:
1. На тих ділянках балки, де відсутнє розподілене навантаження, поперечна сила постійна, а епюра згинаючих моментів змінюється по похилій лінії.
2. На тих ділянках, де діє рівномірно розподілене навантаження, епюра поперечних сил змінюється по похилій прямій, а епюра згинальних моментів - за законом квадратичної параболи. Опуклість епюри при цьому спрямована убік, протилежний напрямку розподіленого навантаження.
3. На ділянці рівномірно розподіленого навантаження момент М досягає екстремального значення в тому перерізі, де епюра поперечних сил (епюра Q) перетинає нульову лінію. При цьому, якщо епюра Q змінює знак із плюса на мінус (при підході до перетину з лівого боку праворуч), то момент має максимум і навпаки.
З застосування методу перерізів випливають також наступні закономірності побудови епюр:
1) В тому перерізі, де прикладений зосереджений момент, епюра згинаючих моментів (епюра М) завжди має стрибок на величину моменту, а епюра Q при переході через даний переріз не змінюється.
В тому місці, де до балки прикладена зосереджена сила, епюра Q завжди має стрибок на величину сили, а епюра М має злам.
У перерізі, де є шарнір, епюра М проходить через нульову лінію, а поперечна сила при переході через даний переріз не змінюється.