исчезает из описания. В частности, в соответствующих уравнениях отсутствуют производные по времени. Стационарные процессы описываются обычными уравнениями баланса типа (3.6), (3.8).
По сути своей стационарный процесс непрерывен. Отметим одну особенность непрерывных процессов: они обязательно проходят в открытых системах, т. е. системах, обменивающихся веществом с окружающей средой. Именно этот обмен-ввод исходных материалов и вывод продуктов - и поддерживает непре- 'рывность. В аппарате, в котором идет непрерывный процесс, обязательно движется поток.
Нестационарные процессы характеризуются изменением параметров во времени. Они требуют для своего описания обобщенных уравнений баланса (3.5), (3.7). Нестационарными являются все периодические процессы. Кроме того, аппарат непрерывного действия может работать нестационарно. Это бывает во время переходных процессов, состоящих в переходе с одного стационарного режима на другой. Переходные процессы возникают при пуске, остановке, переналадке режима, а также вследствие случайных возмущений-колебаний процесса под действием неконтролируемых факторов.
Нестационарный процесс может протекать как в замкнутой системе, не обменивающейся веществом с окружающей средой (например, в автоклаве), так и в открытой системе (периодическая ректификация, переходный процесс в аппарате непрерывного действия, и т. п.).
В некоторых случаях один и тот же процесс можно описать и как стацио- варный, и как нестационарный - в зависимости от системы координат, в которой проводится описание. Так, процесс в потоке может быть стационарным при описании его в координатах, неподвижных относительно аппарата: в данной точке аппарата концентрации и температура не меняются во времени. Но если тот же процесс описать в координатах, движущихся с потоком, процесс окажется нестационарным: по мере движения в потоке концентрации меняются вследствие протекания реакции.
В этой книге основное внимание уделяется наиболее простым, стационарным процессам. Анализ нестационарных процессов подробно рассматривается в курсе автоматизации [10].
Объекты с сосредоточенными и распределенными параметрами. Эти понятия являются пространственными аналогами стационарности и нестационарности. Если объект таков, что можно пренебречь различием параметров процесса в разных точках и считать, что все они (концентрации, температура и др.) полностью выровнены по объему, то это о б ъ е к т с с о с р е д о т о ч е н н ы м и п а- раметрами. В описании такого объекта отсутствуют производные по координатам, так как все они равны нулю, что сильно упрощает модель. В некотором смысле объект с сосредоточенными параметрами можно рассматривать как точку, в которой происходит процесс, поскольку никаких изменений от точки к точке здесь нет. Описание в этом случае получается наиболее простым.
44
Если параметры процесса существенно меняются от точки к точке, то это - о б ъ е к т с р а с п р е д е л е н н ы м и п а р а м е т- рами. В его описании возникают производные по крайней мере до одной координате, а возможно, и по всем трем. Поэтому описание и анализ здесь много сложнее, чем в случае сосредоточенных параметров.
Конечные и дифференциальные уравнения. Математическая модель может содержать как к о н е ч и ы е у р а в н е н и я, не содержащие операторов дифференцирования, так и д и ф ф е р е н ц и- а л ь н ы е у р а в н е н и я.
Конечные уравнения возникают, например, при описании стационарных процессов в объектах с сосредоточенными параметрами. Они могут быть а л г е б р а и ч е с к и м и либо т р а н с ц е н д е н т- н ы м и. В последние входят трансцендентные функции от неизвестных. Так, трансценденты уравнения, содержащие аррениу- совы члены (учитывающие влияние температуры на скорости реакций) .
Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат функции лишь одной независимой переменной. Линейные уравнения (и их системы) могут быть решены аналитически. Нелинейные уравнения чаще всего целесообразно решать на ЭВМ, причем аналоговые вычислительные машины специально предназначены для решения систем дифференциальных уравнений [6*. На аналоговой машине решение получают очень быстро, но точность его невелика. При необходимости получить более точное решение обращаются к цифровым ЭВМ.
Дифференциальные уравнения в частных производных появляются в задачах, где имеется более одной независимой переменной. Решение их чаще всего представляет собой сложную математическую задачу и обычно требует применения ЭВМ.
Задачи Коти и краевые задачи. При численном решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений встречаются два основных случая, связанные с характером з а д а н и я н а ч а л ь н ы х условий. Первый-все начальные условия заданы при одном и том же значении независимой переменной: это задача Каши. Например, протекание сложной реакции, состоящей из я стадий, описано ï дифференциальными уравнениями; начальные условия заданы в виде ï начальных концентраций веществ в момент времени *О.
Численное решение задач Каши сводится к той или иной расчетной схеме, в которой осуществляется расчет зависимых переменных при движении от начального до конечного значения независимой переменной.
Значительно сложнее расчет в том случае, когда начальные (точнее, краевые) условия заданы при различных значениях независимой переменной. В этих случаях мы имеем дело с краевыми задачами. Краевые задачи часто возникают, например, при описании процессов с противотоком фаз.
45