2.1.5. Преобразование высказываний

Сложное высказывание, представленное в произвольном виде с помощью равносильностей с 11 по 16, а также с использованием законов Де Моргана могут быть преобразованы к нормальной форме.

Преобразование КНФ в СКНФ.

Схематично основную идею преобразования можно представить так:

X Y ≡ X  Y  0 ≡ X  Y  ZZ ≡ (X  Y  Z)(X  Y  Z)

Преобразование ДНФ в СДНФ.

Схематично основную идею преобразования можно представить так:

XY ≡ XY1 ≡ XY(Z  Z) ≡ XYZ  XYZ

Преобразование СДНФ в СКНФ и наоборот.

Рассмотрим на примере:

Возьмем логическую функцию f (сложное высказывание) в СДНФ и построим отрицание этой функции, т.е. функцию f, путем выписывания всех конституент единицы, не входящих в f.

Примеры:

Пусть f имеет вид

f=X₁X₂X₃ X₁X₂X₃ X₁X₂X₃ X₁X₂X₃

3 5 6 7

(мнемонический прием – приписать конституентам числа, которые получаются, если посмотреть на конституенты как на двоичные числа)

Отрицание функци f получим выписыванием недостающих конституент (недостающих двоичных чисел).

f=X₁X₂X₃ X₁X₂X₃ X₁X₂X₃ X₁X₂X₃

0 1 2 4

Атеперь применим отрицание к функции f.

f = X₁X₂X₃ X₁X₂X₃ X₁X₂X₃ X₁X₂X₃ ≡

≡ (X₁X₂X₃)(X₁X₂X₃)(X₁X₂X₃)(X₁X₂X₃) – СКНФ (функции f).

Пример 2:

f=XYZXYZXYZXYZXYZXYZ

2 7 0 5 4 3

f= XYZ XYZ≡(XYZ)(XYZ)

6 1

Переход от СКНФ к СДНФ.

Возьмем логическую функцию f в СКНФ и построим отрицание этой функции, т.е. функцию f, путем выписывания всех конституент нуля, не входящих в f.

Пусть f имеет вид

f=(XYZ)(XYZ)

f=(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)≡

≡XYZXYZXYZXYZXYZXYZ

2.1.6. Минимизация высказываний методом Квайна

1. Выражение из произвольной формы приводится к СДНФ.

2. Выполнив в СДНФ все возможные неполные склеивания, а затем все возможные поглощения мы получим Сокращенную ДНФ(С_кДНФ). Конъюнкции в С_кДНФ называютсяимпликантами.

Примечание:Склеивание: XYXY≡X

Неполное склеивание: XYXY≡XXYXY

3. На основании С_кДНФ и СДНФ строимимпликантную матрицуи путем нахождения минимального покрытия этой матрицы получаемминимальную дизъюнктивную нормальную форму(МДНФ).

Пример 1:

f= XYZXYZXYZXYZXYZ

(I) (II) (III) (IV) (V)

I-II : XY (VI)

I-III : YZ (VII)

I-V : XZ (VIII )

III-IV : XZ (IX)

IV-V : YZ (X)

VII-X : Z

VIII-IX:Z

Импликантная матрица.

	_ _ _ XYZ	_ _ XYZ	_ _ XYZ	_ XYZ	_ _ XYZ
_ _ XY	+	+
_ Z	+		+	+	+

С_кДНФ(f) = XY  Z = МДНФ.

Пример 2:

XYZXYZXYZXYZXYZXYZ

1 2 3 4 5 6

1-2 : XY С_кДНФ = ХYYZXZYZXZXY

1-4 : YZ

2-3 : XZ

3-6 : YZ

4-5 : XZ

5-6 : XY

Импликантная матрица.

	XYZ	_ XYZ	_ _ XYZ	_ XYZ	_ _ XYZ	_ _ _ XYZ
XY	* +	* +
YZ	# +			# +
_ XZ		# +	# +
_ _ YZ			* +			* +
_ XZ				* +	* +
_ _ XY					# +	# +

МДНФ₁ = XY  YZ  XZ

МДНФ₂ = YZ  XY  XZ