Пермский Государственный Технический Университет

А. Е. СОЛОВЬЕВ

СПЕЦИАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

конспект лекций

для студентов специальности АСУ

Пермь 2001г.

Оглавление

Введение 5

1. Теория множеств 6

1.1 Понятие множества 6

1.2. Операции над множествами 7

1.3. Диаграммы Эйлера - Венна 7

U 8

1.4. Алгебра множеств 9

1.5. Кортеж. График 10

1.6. Соответствия 12

1.7. Отношения 13

1.7.1 Отношение эквивалентности 13

1.7.2. Отношения порядка 14

1.7.3. Морфизмы 14

1.8. Решетки 15

1.8.1. Диаграммы Хассе 15

1.8.2. Понятие решетки 16

1.8.3. Алгебраическое представление решеток. 16

Булевы решетки 16

1.8.4. Подрешетки 18

1.8.5. Морфизмы решеток 18

1.9. Мощность множества 18

1.9.1. Понятие мощности 18

1.9.2. Аксиоматика Пеано 19

1.9.3. Сравнение мощностей 19

1.9.4. Мощность множества R. 20

Теорема Кантора 20

1.9.5. Арифметика бесконечного 20

1.9.6. Противопоставление системного и 21

теоретико-множественного подходов 21

2. Математическая логика 21

2.1. Логика высказываний 21

2.1.1. Операции над высказываниями 21

2.1.2. Построение и анализ сложных высказываний 22

2.1.3. Алгебра высказываний 23

2.1.4. Формы представления высказываний 24

2.1.5. Преобразование высказываний 25

2.1.6. Минимизация высказываний методом Квайна 26

2.1.7. Минимизация с помощью карт Вейча 27

2.1.8. Функциональная полнота 28

2.2. Логика предикатов 29

2.2.1. Основные равносильности для предикатов 30

2.2.2. Получение дизъюнктов 31

2.3. Аксиоматические теории 31

2.3.1. Аксиоматическая теория исчисления высказываний 31

2.3.2. Непротиворечивость и полнота аксиоматической теории исчисления высказываний 32

2.4. Аксиоматические теории первого порядка 33

2.5. Метод резолюций 34

2.6. Система Генцена 36

2.7. Система Аристотеля 38

2.8. Примеры неклассических логик 40

3. Теория Автоматов 42

3.1. Понятие автомата 42

3.2. Примеры автоматов 42

3.3. Минимизация автоматов 44

3.4. Особенности минимизации автомата Мура 45

3.5. Переход от автомата Мура к автомату Мили и наоборот 46

4.Теория графов 47

4.1. Понятие графа 47

4.2. Теорема Эйлера 50

4.3. Полные графы и деревья 52

4.4. Деревья 53

4.5. Алгоритм Краскала 54

4.6. Планарные графы 55

4.7. Задача о 4 красках 56

4.8. Определение путей в графе 57

4.9. Приведение графа к ярусно-параллельной форме 58

4.10. Внутренняя устойчивость графа 59

4.11. Множество внешней устойчивости. 60

Ядро графа 60

4.12. Клика 61

5. Теория групп 62

5.1. Понятие группы 62

5.2. Морфизмы групп 63

5.3. Инвариантные (нормальные) подгруппы 64

5.4. Группа Диэдра (D3) 65

5.5. Смежные классы 66

5.6. Фактор-группы 66

5.7. Группа Клейна четвертой степени 67

6. Теория алгоритмов 67

6.1. Понятие алгоритма 67

6.2. Конкретизация понятия алгоритма 68

6.3. Сложность вычислений 69

6.4. Машины Тьюринга 69

6.5. Нормальные алгорифмы Маркова 70

6.6. Рекурсивные функции 71

6.7. -исчисление 73

7. Формальные грамматики 75

7.1. Понятие формальной грамматики 75

7.2. Деревья вывода 76

7.3. Классификация языков по Хомскому 77

7.4. Распознающие автоматы 78

7.5. Понятие транслятора 79

7.6. Основные функции компилятора. 80

Лексический анализ 80

7.7. Переход от недетерминированного распознающего автомата к 80

детерминированному 80

7.8. Переход от праволинейной грамматики к автоматной 81

7.9. LEX 82

7.10. Детерминированные автоматы с магазинной памятью 84

(МП-автоматы) 84

7.11. Транслирующие грамматики 85

7.12. s и q - грамматики 86

7.13. LL(1) - грамматики. 87

(left - leftmost) 87

7.14. Метод рекурсивного спуска 88

7.15. LR - грамматики 89

(left - rightmost) 89

7.16. Функции предшествования 91

7.17. Атрибутные грамматики 93

7.18. YACC 94

7.19. Область действия и передача параметров 95

7.20. Генерация выходного текста. 96

Польская инверсная запись 96

7.21. Оптимизация программ 98

8. Функциональное программирование 99

9. Логическое программирование. 103

Язык Пролог 103

10. Объектно-ориентированное программирование 104

Заключение 107

Литература 108