4.11. Множество внешней устойчивости. Ядро графа

Множество внешней устойчивости- такое множество вершин графа, что:

1) либо вершины принадлежат этому множеству.

2) либо они имеют дуги в этом множестве.

Это определение легче усвоить и запомнить, если отдавать себе отчет, что внешне устойчивое множество, прежде всего, определяется вершинами графа, которые в это множество не входят(пункт 2).

Множество всех вершин графа внешне устойчиво (подпадает под пункт 1). Поэтому интерес представляют минимально возможные множества внешней устойчивости.

Поиск внешне устойчивого множества происходит в другой классической задаче:

Как расставить минимальное число ферзей, чтобы все поля доски были под боем.

Для решения этой задачи также используется соответствующий алгоритм Магу.

Возьмем граф из предыдущего примера:

	a	b	c	d	e	f
a	1		1
b	1	1			1
c			1			1
d		1		1	1
e			1		1
f		1		1	1	1

Алгоритм Магу.

1. По главной диагонали проставляем 1.

2. Выписываем построчные дизъюнкции.

(a  c)(a  b  e)(c  f)(b  e)(c  e)(b  d  e  f)

3. Преобразуем в ДНФ, выполнив все возможные поглощения и операции идемпотентности.

Получим: acd aefbcce

Эти конъюнкции и дают множества внешней устойчивости.

.{a, c, d}, {a, e, f}, {b, c}, {c, e}

Минимальное из них дает число внешней устойчивости(здесь 2).

Множества, одновременно внутренне и внешне устойчивые называются ядромграфа.

Для рассмотренного графа - {b, c}

В графе может быть несколько ядер (например - 2)

или не быть совсем.

4.8. Определение путей в графе

a b

g

c

f

e d

Требуемые результаты получаются путем перемножения матриц смежности графа.

M - матрица смежностей, показывает пути длиной в 1 в данном графе.

	a	b	c	d	e	f	g
a				1	1
b		1
c
d							1
e			1	1
f			1		1
g		1

	a	b	c	d	e	f	g
a				1	1
b		1
c
d							1
e			1	1
f			1		1
g		1

M M

Матрица M² дает все пути длиной в 2

	a	b	c	d	e	f	g
a							1
b
c
d		1
e							1
f		1		1
g

Матрица Мⁿ- пути длиной в n.

Если Мⁱ- нулевая матрица, то наибольший путь в графе имеет длину i - 1.

Для определения наличия путей между двумя вершинами можно использовать «транзитивное замыкание» матриц

M^*= M¹M² M³ ...

Непустая клеточка ijбудет говорить о наличии пути изi-ой вершины вj-ую.