1.3. Диаграммы Эйлера - Венна

Диаграммы Эйлера-Венна позволяют представить множества, как множества точек на плоскости, оганиченные замкнутыми кривыми круглой или овальной формы. Прямоугольная рамка ограничивает универсум. Обычно, если не требуется иное, рисуют так называемый общий случай: когда каждое из множеств имеет свои собственные точки и точки, общие с другими множествами.

U

II

III

I

A

B

AB – зоны I, II, III.

AB – зона III.

A\B - зона I.

A - все, кроме круга А.

AB - зоны I, III.

Диаграмма для общего случая c тремя множествами будет иметь вид:

U

A B

C

Построение диаграммы Эйлера-Венна для общего случая с четырьмя и более множествами можно предложить для самостоятельных развлечений.

1.4. Алгебра множеств

Операции над множествами дают в результате новые множества.

Для операций справедлив ряд законов. Приведем наиболее часто используемые.

Для упрощения записи, уменьшения числа скобок, определяющих последовательность операций, можно использовать соглашение о "силе" операций (в порядке убывания): дополнение, пересечение, объединение.

Остальные операции можно выразить через эти три.

Законы:

1. Коммутативный:

A  B = B  A A  B = B  A

2. Ассоциативный:

A  (B  C) = (A  B)  C = A  B C A (B  C) = (A  B)  C = A  B  С

3. Дистрибутивный:

A  (B  С)= (A  B)  (A  C) A  (B  С) = (A  B)  (A  C)

4. Поглощения:

A  (A  B) = A A  (A  B) = A

5. Идемпотентности:

A  A = A A  A = A

6. Исключенноготретьего:Противоречия:

A A = U A  A = 

7. A   = A A   = 

8. A  U = U A  U = A

9. Де Моргана:

____ ___

A  B = A  B A  B = A  B

10.= U U =

11. Двойного отрицания: A = A

12. A \ B =A  B

13. A  B =A  B  A  B

Пример доказательства варианта дистрибутивного закона:

A  (B  С) = (A  B)  (A  C)

I. Докажем, что левая часть включена в правую:

A  (B  C)  (A  B)  (A  C)

Пусть х А(ВС), тогда у х есть две возможности

1. х A . Тогда хAB и хACх(AB)(AC).

2. х BC. Тогда хB и хCхAB и хAC,

то есть х (AB)(AC).