4.5. Алгоритм Краскала

Пусть дан полный граф. Ребрам приписаны штрафы. На основе этого графа строят дерево, имеющее минимальный суммарный штраф.

Для этого на каждом шаге выбирают ребро, имеющее минимальный штраф и не образующее цикл с уже выбранными ребрами.

.

Пример.

2 3 5 5

6

4 4 8 6

6

Жирными линиями выделено минимальное дерево

Теорема Кэли для раскрашенных деревьев.

Для n вершин существует n^n-2различных помеченных деревьев.

Например, существует 16 различных деревьев с четырьмя вершинами.

1 2 3 4

4 3 2 1

4 вершины 4^{4 - 2} = 16 различных помеченных деревьев

1 2 3

4

4.12. Клика

Клика - максимально большой полный подграф данного графа.

a

f b

e c

d

	a	b	c	d	e	f
a		1	1
b				1	1	1
c					1	1
d					1	1
e						1
f

	a	b	c	d	e	f
a				1	1	1
b			1
c				1
d
e
f

Построение Клики.

1. Строим дополнительный граф исходного графа.

G a

f b

e c

d

2. Найдем множество внутренней устойчивости для графа G.

(a  d)(a  e)(a  f)(b  c)(c  d)

(a  de)(a  f)(c  bd)

(a  def)(c bd)

ac  cdef  bdef  abd

{b, d, e, f}, {c, e, f}, {a, b}, {a, c}

3. Множества полученных вершин дают всевозможные полные подграфы исходного графа G. Причем, максимальный из подграфов дает клику.