1.9.4. Мощность множества r. Теорема Кантора

Аналогом мощности действительных (вещественных) чисел служит множество точек

на отрезке действительной оси или на всей действительной оси.

Равномощность различных отрезков, а также отрезка и всей прямой показаны на рисунках.

Теорема Кантора.

N < R (₀<₁)

Доказательство.

1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем рассматривать отрезок между 0 и 1. Числа будут представляться в виде бесконечных десятичных дробей. Конечные дроби для однозначности будут заменяться своими бесконечными аналогами. Например, 0.45 = 0.4499999…

Допустим, что каким-то образом установлено взаимно-однозначное соответствие между числами отрезка от 0 до 1 и множеством N.

0, а₁¹, а₂¹, а₃¹......

0, а₁²,а₂², а₃²......

0, а₁³,а₂³,а₃³ ...

.

Но здесь отсутствует число 0, b₁, b₂, b₃... где a₁¹  b₁, b₂  a₂² ... b_n  a_nⁿ

Следовательно, предположение о возможности «пересчитать» множество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 неверно. Действительных чисел больше.

Мощность множества действительных чисел ₁называетсямощностью континуума.

1.9.5. Арифметика бесконечного

Бесконечных мощностей бесконечно много: ₀ <₁ <₂ <₃ < …

₀- самая маленькая бесконечная мощность.

₀ + A =₀₁-₀=₁

₀+₀=₀₀- A =₀

₁+₁=₁₀ -₀=₀

₁+₁=₁₀-₁=₁

2. Математическая логика

2.1. Логика высказываний

Под высказываниембудем понимать повествовательное предложение,

относительно которого можно сказать - истинно оно или ложно.

Высказываниями не являются определения, восклицательные и вопросительные предложения, а также логические парадоксы.

Определение:Угол в 90 градусов называется прямым углом.

Восклицание:Смирно!

Вопрос: Кто сказал "мяу"?

Парадокс лжеца:"Я лгу".

Если это высказывание ложь, то я говорю правду.

Но если я говорю правду, то я действительно лгу.

Высказывания будем обозначать отдельными буквами.

Более строго их можно называть элементарными высказываниями.

Главный содержательный парадокс логики высказываний состоит в том, что она не интересуется смысломвысказываний. По образному сравнению логика Клини в математической логике на высказывания смотрят через «рентген», который отбрасывает их содержательный смысл и оставляет только "скелет" высказывания - его истинность.

Истинность может принимать два значения

истинно ложно

и л

true false

t f

но самые популярные обозначения

1. 0

которые не следует путать с числами двоичной арифметики.

2.1.1. Операции над высказываниями

1.Дизъюнкция (логическое “или”, “логическое сложение”). Наиболее популярные обозначения: и +.

2. Конъюнкция (логическое “и” “логическое умножение”). Наиболее популярные обозначения: ,и &.

3. Отрицание (логическое “не”). Наиболее популярные обозначения:и .

4. Импликация (логическое “если ... , то”, “влечет”) .

5. Эквивалентность (логическое “если и только если”) .

6. Неравнозначность (или “сумма по модулю 2”, или “исключающее или”) .

7. Штрих Шеффера (логическое “и-не”) |.

8. Стрелка Пирса (логическое “или-не”) .

Операции сведены в таблицу:

A	B			Ā				|	
0	0	0	0	1	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	0
1	0	1	0	0	0	0	1	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	0	0

Соглашение о старшинстве некоторых операций (по силе связывания):

, &, ,,.