2.1.2. Построение и анализ сложных высказываний

В качестве примера возьмем отрывок из Шолом-Алейхема (заимствованный, однако, у Д.А. Поспелова).

“... - Вот, что. Если вы хотите остаться у нас, если вы хотите, чтобы мы стали друзьями.

- Если вы не хотите, чтобы вам пришлось уезжать отсюда, то

- Забросьте книги под стол. Будем играть в шашки, в 66 или будем валяться на кровати и плевать в потолок...”

Придав конкретные значения отдельным элементарным высказываниям, можем определить истинность всего сложного высказывания для этого набора значений.

a - хочешь остаться в доме 1

b - хочешь остаться другом 0

с - захотеть уехать 0

d - забросить под стол книги 1

е - играть в шашки 0

f - играть в 66 1

g - валяться на кровати 1

h - плевать в потолок 0

a & b & ( c)  d & (e  f  g  h)

10 0 1 0 1 1 0

Другой пример. Пусть на три входа "черного ящика" (х1, х2, х3) подаются (1) или не подаются (0) импульсы во всевозможных сочетаниях. На выходе (f) импульс либо появляется (1), либо отсутствует (0).

x1

x2

f

x3

Результаты замеров заносятся в «журнал исследований » - таблицу истинности.

Пусть она имеет следующий вид:

х1	x2	x3	f
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Что также можно записать в виде формулы:

f= x1x2x3  x1x2x3  x1x2x3  x1x2x3

2.1.3. Алгебра высказываний

Сложные высказывания называются равносильными(f ≡g), если на одинаковых наборах значений элементарных высказываний они принимают одинаковые значения.

Законы :

1. Коммутативный.

A B≡BA AB≡BA

2. Ассоциативный.

A  (B  C) ≡ A  B  C A(BC) ≡ ABC

3. Дистрибутивный.

A  BC ≡ (A  B)(A  C)

A(B  C) ≡ AB  AC

4. Де Моргана.

A  B ≡ AB AB ≡ A  B

5. Идемпотентности.

A  A ≡ A AA ≡ A

6. Поглощения.

A  (AB) ≡ A A(A  B) ≡ A

7. Исключенного третьего. Противоречия.

A  A ≡ 1 AA ≡ 0

8. A  1 ≡ 1 A1 ≡ A

9. A  0 ≡ A A0 ≡ 0

10. 0≡ 1 1 ≡ 0

11. A≡ A

12. A B ≡A  B

13. A B ≡ AB  AB

14. A B ≡AB  AB

15. A | B≡ AB ≡ A  B

16. A B ≡A  B ≡AB

17. Операция склеивания.

AB  AB ≡ A

AB  AB ≡ A

2.1.4. Формы представления высказываний

1. Форма А₁ А₂ ...А_n, где А_i,- элементарное высказывание или отрицание элементарного высказывания (литерал), называетсяэлементарной дизъюнкцией.

2. Форма B₁ B₂ ...B_n, где B_i- литерал, называетсяэлементарной конъюнкцией.

3. Форма D₁ D₂ ...D_n, где D_j- элементарная дизъюнкция, называетсяконъюнктивной нормальной формой (КНФ).

4. Форма K₁ K₂ ...K_n, где K_j- элементарная конъюнкция, называетсядизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Всегда истинное (на любых наборах значений входящих в него элементарных высказываний) сложное высказывание называется тавтологией.

Всегда ложное (на любых наборах значений входящих в него элементарных высказываний) высказывание называется противоречием.

Совершенной КНФ (СКНФ)называется такая КНФ, что каждая входящая в нее элементарная дизъюнкция содержит все элементарные высказывания прямо или с инверсией строго по одному разу. Нет повторяющихся дизъюнкций. Любое сложное высказывание, кроме тавтологии, имеет единственную СКНФ.

Совершенной ДНФ (СДНФ)называется такая ДНФ, что каждая входящая в нее элементарная конъюнкция содержит все элементарные высказывания прямо или с инверсией строго по одному разу. Нет повторяющихся конъюнкций. Любое сложное высказывание, кроме противоречия, имеет единственную СДНФ.