- •1. Теория множеств
- •1.1 Понятие множества
- •Свойства отношения включения:
- •Полезные соотношения:
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Диаграммы Эйлера - Венна
- •1.4. Алгебра множеств
- •Законы:
- •I. Докажем, что левая часть включена в правую:
- •II. Докажем, что правая часть включена в левую:
- •1.5. Кортеж. График
- •Свойства графиков
- •1.6. Соответствия
- •2 3 4 5
- •1.7. Отношения
- •Свойства отношений
- •1.7.1 Отношение эквивалентности
- •Свойства :
- •1.7.2. Отношения порядка
- •1.7.3. Морфизмы
- •1.8. Решетки
- •1.8.1. Диаграммы Хассе
- •1.8.2. Понятие решетки
- •1.8.3. Алгебраическое представление решеток. Булевы решетки
- •1.8.4. Подрешетки
- •1.9.4. Мощность множества r. Теорема Кантора
- •1.9.5. Арифметика бесконечного
- •2. Математическая логика
- •2.1. Логика высказываний
- •2.1.1. Операции над высказываниями
- •2.1.2. Построение и анализ сложных высказываний
- •2.1.3. Алгебра высказываний
- •2.1.5. Преобразование высказываний
- •2.1.6. Минимизация высказываний методом Квайна
- •2.1.7. Минимизация с помощью карт Вейча
- •2.1.8. Функциональная полнота
- •4.2. Теорема Эйлера
- •4.10. Внутренняя устойчивость графа
- •4.11. Множество внешней устойчивости. Ядро графа
- •4.8. Определение путей в графе
- •4.9. Приведение графа к ярусно-параллельной форме
- •4.3. Полные графы и деревья
- •4.5. Алгоритм Краскала
- •4.12. Клика
II. Докажем, что правая часть включена в левую:
(A B) (A C) A B C.
Пусть х AB и хAC. Тогда возможны два варианта:
1. х A х A B C
2. х B и хCхBCхABC.
То есть левое и правое множества равны.
1.5. Кортеж. График
Кортеж - фундаментальное неопределяемое понятие.
В кортеже существенны не только элементы, но и порядок, в котором они располагаются. Следовательно, кортеж может содержать одинаковые элементы.
Примерами кортежей могут служить очередь, свадебный кортеж. Кортежем является вектор, заданный проекциями на оси.
Кортеж заключается в угловые скобки.
< a1 ,a2, a3, ..., an > - кортеж длиной n илиупорядоченная n-ка.
< 1, 1, 1 > - упорядоченная тройка – единичный вектор.
< a, b> - упорядоченная двойка или пара. Пару (и не только ее) можно представить и в традиционном виде, как множество: {a, {a, b}}. Однако использование угловых скобок упрощает представление.
График - множество пар. Можно дать и более общее определение графика в n-мерном пространстве, как множества n-ок). Однако в дальнейшем будут рассматриваться только двухмерные графики.
Примеры:G = { < a, b >, < c, a >, < d, b > } - график.
Несколько эпатирующе звучит слово график применительно к аналитической записи. Но это лишь подчеркивает его универсальность. Для множеств действительных чисел Х и У приведемграфический пример графика.
У
уi
хiХ
Декартово (прямое) произведениемножеств A и B:
A x B = {< a, b > | a A, bB}
В общем случае : A1 x A2 x A3 x ...x An = {< a1, a2, ..., an >|a1A1, a2A2, ... , anAn}
Пример :Для A = { 1, 2} и B={ 1, 2, 3} декартово произведение
А х В = {< 1, 1 >, < 1, 2 >, < 1, 3 >, < 2, 1 >, < 2, 2 >, <2, 3>}
График является полым, если он совпадает с декартовым произведением.
Композицией графиковP и Q называется график R = PQ , если он состоит из таких пар <x, y>R , что для каждой пары найдется свое z, такое, что < x, z >P,
< z, y > Q. Очевидно, что это некоммутативная операция.
Пример :
P = {< a, b >, < 1, r >, < c, 3 >, < a, 4 >}
Q = {< 2, 3 >, < 4,5 >, < a, c >, < b, d >}
R = P Q = {< a, d >, < a, 5 >}
Свойства графиков
1. График называется функциональным, если он не содержит пар с одинаковой первой и различными вторыми компонентами.
2. График называется инъективным, если он не содержит пар с одинаковой второй и различными первыми компонентами.
3. График называется симметричным, если он равен своей инверсии.
4. График называется диагональюмножества М, если он состоит из пар вида
<x, x>: M = {<x, x> | x M}
Примеры
функциональный нефункциональный
нефункциональный неинъективный
Пара <a, b> называется инверсиейпары<c, d>, если a = d, b = c.
График P-1-инверсияграфика P, если он состоит из инверсий пар графика P.
Пример
P ={<a, b>, <b, e>, <k, s>}
P-1={<b, a>, <e, b>, <s, k>}
Проекция кортежана заданные оси - есть кортеж, составленный из соответствующих компонент исходных кортежей. Рассматриваются только проекции на возрастающий (по номеру) список осей.
Пример
B = <2, 5, 6, 4, 2, 6>
пр.B1,2,4 = <2, 5, 4>
Проекция некоторого множества М на множество осей дает множество проекций кортежей, составляющих множество. Исходное множество должно состоять из кортежей одинаковой длины.
Пример
M={<a, b, c>, <a, c, d>, <k, l, m>, <o, p, r>}
пр.M1,3={<a, c>, <a, d>, <k, m>, <o, r>}