1. Теория множеств

1.1 Понятие множества

Множество - фундаментальное неопределяемое понятие. Множество понимается как объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью.

Теорию множеств можно подразделить на аксиоматическую и интуитивную (наивную).

Аксиоматическая теория исходит из того, что множество определяется совокупностью аксиом, записанных обычно на языке логики (предикатов). Интуитивная теория множеств апеллирует к интуиции, к базовому понятию принадлежностиэлемента множеству, то есть к интуитивной понятности отношения принадлежности(а  A - элемент а принадлежит множеству A).

Для интуитивного понятия множества существенны два момента, следующие из "определения":

1. Различимость элементов.

2. Возможность мыслить их как нечто единое.

Студенты образуют группу. Деревья составляют лес.

Целые числа составляют множество целых чисел.

Жители Марса - множество марсиан.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначаетсяили. Обычно именно фигурные скобки используются для выделения множества (отсутствие элементов в скобках и говорит о том, что это пустое множество).

Множество, заведомосодержащее всерассматриваемыеэлементы, называетсяуниверсальнымилиуниверсумом - U.

Было бы опрометчиво говорить просто, что U содержитвсеэлементы. К сожалению, имеют место так называемые парадоксы теории множеств. Самый знаменитый –парадокс Рассела, который показывает невозможность построить множествовсехподмножеств, не содержащих себя в качестве элемента. Более прост в пониманиипарадокс брадобрея, которому приказано брить в тридевятом государствевсех тех итолько тех, кто не бреется сам. Перед брадобреем неразрешимый вопрос:

Включать ли самого себя в множествотех, кого он обязан брить?!

Способы задания множеств:

A = {a, b, c, d} - задание множества явным перечислением элементов.

Например, гвардия = {Иванов, Петров, Сидоров}

B = {x | С(x)} - задание множества (характеристическим) свойством С(x).

Например, студенчество = {x | x - студент}-множество таких х, чтох -студент.

Отношение включения . Множество А включено в множество В(А  В)или А естьподмножествомножества В, если из хА следует хВ.

Например, студенческая группа  студенты данной специальности

Отношение строгого включения : Если AB и AB , то можно написать

A B.

Например:   множество отличников

Кстати, на что намекает это отношение?

Свойства отношения включения:

1. Рефлексивность: AA

2. Принцип объемности: AB и BA следует B = A (на основе этого принципа и доказывается равенство двух множеств).

3. Транзитивность: AB и BC следует AC

Полезные соотношения:

{ }= ; 1{ 1 } ; {{ 1 }}{ 1 } ; { а, в }{ в, а }

1.2. Операции над множествами

1. Объединениемножеств A и B

A B = { x|xA или xB } (или -неисключающее)

2. Пересечениемножеств A и B

A  B = { x | x  A и x  B }

3. Разностьмножеств A и B

A \ B = { x | x  A и x  B }

4. Симметрическая разностьмножеств A и B

A  B = { x | (xA и xB) или (xA и xB)}=( A \ B )  ( B \ A )

5.Дополнение множества A

A= { x | xA }

Пример.

Пусть А = {1, 2, 3} и B= {3,4}, тогда

A  B = {1, 2, 3, 4}

A  B = {3}

A \ B = {1, 2}

A  B = {1, 2, 4}

А= множество чисел кроме 1, 2, 3.