1.5. Отношения

Подмножество RMⁿназываетсяnместным отношением на множестве М. Говорят, что а₁,...,а_n находятся в отношенииn, если (а₁,...а_n)R. Одноместное отношение (свойство, признак) - это просто подмножество М. Наиболее часто встречающиеся и хорошо изученные - бинарные отношения, для нихRM². Если а,в находятся в отношенииR, то это часто записывают в виде аRв.

Примеры бинарных отношений на множестве людей "быть сыном", "служить в одном полку", "любить", "дружить".

Примером трехместного (тернарного) отношения является множество троек нападающих в хоккейной команде или отношение "ставить оценку", определяемое следующим образом: "преподаватель х ставит курсанту yоценкуz".

Можно определить обратное отношение R^-1,a_iR^-1a_j, тогда и только тогда, когда a_iRa_j. Например, для отношенияобратным является отношение.

Рассмотрим свойства отношений.

Отношение Rназываетсярефлексивным, если для любого аМ имеет место аRа. Отношение антирефлексивно, если ни для какого аМ не выполняется аRа.

Отношение рефлексивно, а отношение "быть сыном" антирефлексивно.

Таким образом, рефлексивность - свойство выполняемости отношения для каждого элемента подмножества Rотносительно самого себя.

Отношение Rсимметрично, если изaRв следует вRa(это может быть записано с использованием стрелки следованияaRввRa). В противном случае отношениеRнесимметрично. ОтношениеRантисимметрично, если изa_iRa_jиa_jRa_iследует, чтоa_i=a_j.

Отношение дружбы симметрично. Отношение любви, как правило, несимметрично. Отношение антисимметрично, действительно, если ав и ва, то а=в. ОтношениеRсимметрично тогда и только тогда, когдаR=R^-1.

Отношение Rтранзитивно, если для любых а,в,с из аRв и вRс следует аRс. Это можно записать с использованием знака конъюнкции(союз "И") и символа"следует":

(авR)&(вRс)аRс

Например, отношение "являться начальником" транзитивно. Отношение дружбы нетранзитивно. Для любого отношения Rотношение, называемое транзитивным замыканиемR, определяется следующим образом: ав, если существует цепочка изnэлементов а=а₁,а₂,...а_n-1,а_n=в, в который между соседними элементами выполненоR: а₁Ra₂, a₂Ra₃,...a_n-1Rв.

Транзитивным замыканием отношения "быть сыном" является отношение "быть прямым потомком", являющееся объединением отношений "быть сыном", "быть внуком", "быть правнуком" и т.д.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Таково отношение равенства.

Отношение нестрогого порядкарефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение строгого порядкаантирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношения идля чисел - отношения нестрогого порядка, отношения<,>- отношения строгого порядка.

Пример лексико-графического упорядочения слов в словарях: лес лето, где- символ упорядочения.