I. Множества и алгебраические системы. Булевы алгебры

1.1. Основные понятия теории множеств

Понятия "множество", "элемент множества" являются одними из основных, исходных понятий математики. Принято считать, что эти понятия, как и любые другие исходные понятия некоторой математической теории не определяются. Действительно, всякое определение содержит другие понятия, логически предшествующие определяемому, поэтому по крайней мере первое определение теории должно содержать не определяемые понятия. В качестве таких исходных обычно выбираются понятия, в понимании которых не возникает существенных разногласий (возможные разногласия не нарушают правильности ни одного положения теории). Вообще в дискретной математике имеются специальные принципы построения математический теорий.

Тем не менее, под множеством понимают любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. В этом нестрогом, интуитивном определении, принадлежащем родоначальнику современной теории множеств - немецкому математику Г.Кантору (1845-1918) существенным является то обстоятельство, что собрание объектов рассматривается как один объект. Нам будет вполне достаточно интуитивного понимания понятий "множество", "быть элементом множества". Объекты, образующие множество, называют элементами множества и обозначают, как правило, малыми булевыми латинского алфавита, а множества - большими.

Для обозначения принадлежности элемента mмножеству М будем использовать записьmМ, где знакявляется стилизацией первой буквы греческого словаi(есть, быть).

Множество, содержащее конечное число элементов, называют конечным. В теории множеств используется и такое необычное множество, как пустое множество, не содержащее ни одного элемента и обозначаемое символом . Число элементов конечного множества М называют мощностью и обозначают|М|. Мощность бесконечного множества - более сложное понятие.

Каждое множество полностью задается своими элементами. Для этого можно перечислить элементы конечного множества или указать свойства элементов. Обычно для задания множеств используются фигурные скобки {}. Например:

А = {a,в,c,d}

B = {i:i- четное число}.

А - конечное множество, состоящее из четырех элементов a,в,c,d. В - бесконечное множество, заданное свойством элементовi, которое записывается справа от двоеточия. По существу это свойство задается так называемым одноместным предикатом Р(i), с которых речь будет идти в дальнейшем. Множество может быть задано также некоторой порождающей процедурой. Весьма распространенной порождающей процедурой является образование множеств из других множеств с помощью операций под множествами.

В множестве могут быть выделены подмножества. Если каждый элемент множества С принадлежит множеству D, то множество С называется подмножеством множестваD. Это обозначается как С^D(D^С), где^- знак включения (вспомним знак принадлежности). Говорят, что множества С иDнаходятся в отношении включения, а элементы множества к самому множеству - в отношении принадлежности.

Если А ^В и АВ, то А называют собственным, строгим или истинным подмножеством и обозначают АВ, где- знак строгого включения.

Для каждого множества М существует множество, элементами которого являются все его подмножества. Такое множество называется булеаном множества и обозначается В(М), а множество М - универсальным (универсумом) и обозначается I.

Пусть I = {a,в}, тогдаB(I) = {,{a},{в},{а,в}}. ДляI = {a,в,с}B(I) = {,{a},{в},{c},{а,в},{a,c},{в,c},{a,в,с}}.

Множества часто задают графически с помощью диаграмм Эйлера (рис.1.1).

Рис.1.1. Пример диаграммы Эйлера для множеств

{{а,в,с},{в,d,e}}в универсуме{а,в,с,d,e}

На рис.1.1 заданы множества {{а,в,с},{в,d,e}}в универсумеI={а,в,с,d,e}, замкнутая линия, называемая кругом Эйлера, соответствует одному из рассматриваемых множеств и ограничивает его элементы, при этом рамка, в верхнем правом углу которой обозначеноI, ограничивает элементы универсума (универсального множества).