25

1.6. Элементы общей алгебры

1.6.1. Операции на множествах

Частным случаем функции является операция, т.е. функциональное отображение вида:Mⁿ М, гдезнак отображения. Такая функция называетсяn-арной операцией, в ней области определения аргументов и область значений функции совпадают,n- местная операция поnэлементам множества определяет (n+1)-й элемент этого же множества.

АлгебройА называется совокупность<>множества М с заданными на нем операциямиS={₁₁,₁₂,..._1n1,₂₁,..._2n2,_m1,_m2, ..._mnm}, А=<м,S>, где множество м - носитель,S- сигнатура алгебры. Первый каждый индекс у идентификатора операции указывает ее местность.

Алгебра типа <м,₂>, т.е. алгебра с бинарной операцией, называетсягруппоидом.

Рассмотрим квадрат с вершинами с точках а₁,а₂,а₃,а₄, пронумерованных против часовой стрелки, а повороты квадрата вокруг центра также против часовой стрелки, переводящие вершины в другие вершины. Таких поворотов бесконечное множество: на углы 0,,, 3, 2, 5, ..., однако они задают всего четыре различных отображения множества вершин в себя, соответствующих первым четырем поворотам.

Можно сказать, что задана алгебра А=<м,₁>с основным множеством М={а₁,а₂,а₃,а₄}и четырьмя унарными операциями ММ, которые обозначим буквами,,,. Зададим эти операции таблицей 1.1.

Табл.1.1. Унарные операции алгебры

поворотов квадрата

				
а1	а1	а2	а3	а4
а2	а2	а3	а4	а1
а3	а3	а4	а1	а2
а4	а4	а1	а2	а3
	0			3

Можно интерпретировать такие операции также циклическими сдвигами вида:

а₁а₂а₃а₄.

Множество 0={,,,}отображений вершин в себя вместе с бинарной операцией 0²0 последовательного выполнения отображений (выполнения поворота за поворотом, композиции поворотов), которую обозначим символом о, образует алгебру с бинарной операцией<0,о>. Она задается таблицей 1.2, в которой на пересечении строкиiи столбцаjзаписан результат операцииioj.

Табл.1.2. Бинарные операции 0²0 алгебры

композиций поворотов квадрата

i j				
				
				
				
					ioj

Такая таблица 1.2, задающая бинарную операцию, называется таблицей Кэли.

Можно представить бинарной операцией, например, смешивание красок, когда из двух цветов получается третий, входящий, однако во множество всех цветов.

Пусть А=<М,₂>- группоид, обозначим как и в предыдущем примере₂какo.

Тогда элемент nМ называется правым нейтральным элементом группоида А, если для всякого mМ выполняется равенствоmoc=m.

Для левого нейтрального элемента выполняется равенство nom=m.

В дальнейшем для краткости вместо слов "все", "всякий" будем использовать символ (перевернутая буква А - первая буква английского словаAll- все, этот символ называется еще квантором общности; квантор существования обозначаетсяи означает "существует", "имеется", "есть").

Элемент n, являющийся одновременно и левым, и правым нейтральным элементом, называют двухсторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Для смешивания красок нейтральный элемент - бесцветный лак.

Если группоид <М,о>мультипликативный, т.е. его бинарная операция о имеет тип умножения (х), то нейтральный элемент называетсяединицейи обозначается 1, если группоид аддитивный, т.е. бинарная операция о имеет тип сложения (+), то нейтральный элемент называетсянулеми обозначается 0. Нейтральный элемент в группоиде всегда единственный.

Коммутативный группоид, т.е. группоид, в котором

(х,yМ)(хоy=yох),

называется коммутативнымилиабелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(х,y,zМ)(хо(yоz)=(xоy)оz),

называется ассоциативнымили полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом. В алгебре поворотов квадрата (табл.1.2) единицей служит поворот на нулевой угол ().

Группойназывается полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента а существует элемент а^-1, называемый обратным и удовлетворяющий условию аоа^-1=а^-1оа=n.

В алгебре поворотов квадрата (табл.1.2), являющейся группой обратным к данному повороту является поворот, дополняющий его до 2:

^-1=,^-1=,^-1=.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента а, называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой. Обратным к элементу а является элемент .