4. Логика высказываний. Булева алгебра логических функций
4.1. Понятие о математической логике
1. Математическая логика и логические операции.
Что такое математическая логика? В соответствии со словарем С.И.Ожегова "логика - наука о законах мышления и его формах", "логика - ход рассуждений, умозаключений". Логика изучает лишь те акты мышления, которые фиксированы в языке в виде слов, предложений и их совокупностей. Таким образом, логика имеет непосредственное отношение к языку, речи.
Логика как наука сформировалась очень давно - в IVвеке до н.э. Ее создал древнегреческий ученый Аристотель. В течение многих веков логика почти не развивалась. Это, конечно, свидетельствует о гениальности Аристотеля, однако в свое время логика приобрела славу мертвой, застывшей науки и высмеивалась Рабле, Свифтом и др.
Только в ХVП веке великий немецкий ученый Лейбниц (1646-1716) задумал усовершенствовать логику, которая стала бы "искусством исчисления". В этой логике, по мысли Лейбница, каждому понятию соответствовал бы символ, а рассуждения имели бы вид вычислений. Идея Лейбница, не встретив понимания современников, не получила в то время распространения и развития.
Только в середине ХIХ века ирландский математик и священник Дж.Буль (1815-1864) частично воплотил в жизнь идею Лейбница. Им была создана алгебра логики, в которой действуют законы, схожие с законами традиционной алгебры, но буквами обозначаются не числа, а предложения. На языке такой алгебры - булевой алгебры логики можно описывать рассуждения и "вычислять" их результаты; однако ею охватываются далеко не всякие рассуждения, а лишь определенный их тип, в некотором смысле - простейший.
Алгебра логики Буля знаменовала зарождение новой науки - математической логики. В отличие от нее логику, восходящую к Аристотелю, называют традиционной, формальной логикой. Математическая логика использует язык и методы математики и вызвана к жизни потребностями математики.
Математическая логика, поначалу казавшаяся в высшей степени абстрактной, недолго оставалась уделом "чистых" математиков. В начале нынешнего века отечественный ученый П.С.Эренфест указал на возможность применения аппарата логики высказываний (раздела математической логики) в технике. В середине ХХ века была обнаружена теснейшая связь математической логики с новой наукой - кибернетикой, открывшая возможности многочисленных и разнообразных приложений математической логики. Математическая логика сегодня используется в биологии, медицине, лингвистике, педагогике, психологии, юриспруденции, экономике, технике. Чрезвычайно важна роль математической логики в развитии вычислительной техники: она используется в конструировании ЭВМ, при разработке искусственных языков, в новой области - системах с элементами искусственного интеллекта.
Большой вклад в развитие математической логики внесли ученые разных стран: Д.Гильберт (1862-1943), Б.Рассел (1872-1970), К.Гедель (род.в 1906 г.), А.Н.Колмогоров (1903-1987), Я.Лукасевич (1878-1956), А.Тарский (1901-1983), А.Черч (род.в 1903 г.), А.Тьюринг (1912-1954), А.А.Марков (1903-1980) и др.