4.3. Формализация высказываний

Выше мы познакомились с логическими операциями логики высказываний - наиболее простого раздела математической логики. Логика высказываний интересуется единственным свойством элементарных высказываний - значением их истинности.

Структура составных высказываний определяет зависимость их значений истинности от значений истинности составляющих элементарных высказываний. Если при переводе с одного естественного языка на другой необходимо заботиться о сохранении смысла, а не о структуре высказываний, то при переводе с естественного языка на язык логики (при формализации высказываний) необходимо заботиться лишь о сохранении структуры высказываний, игнорируя их первоначальный смысл.

Существует много искусственных языков различного назначения. Например, созданы алгоритмические и машинные языки для общения с ЭВМ. Искусственный язык нужен там, где многозначность, присущая естественным языкам и приводящая к неясностям и неточностям, недопустима. Так обстоит дело при общении с машиной, которая не может выбрать из нескольких значений слова нужное с помощью здравого смысла и интуиции, которые есть у человека, но отсутствуют у машины.

Искусственные языки, создаваемые для нужд логики, называют формализованными языками.

Формализованный языкстроится так: сначала задаетсяалфавитязыка, т.е. исходные символы, каждая последовательность исходных символов называетсясловом; затем вводитсясинтаксис, т.е. набор правил, позволяющих из всех слов формализованного языка слова, называемыеформулами.

Таким формализованным языком является язык логики высказываний.

В формализованном языке для любого слова можно определить, является ли оно формулой этого языка.

Итак, формализация высказываний заключается в замене их правильными формулами, выражающими их логическую структуру.

Алфавит логики высказыванийсостоит

1) из некоторых высказывательных переменных х,y,z...x_i,y_i,z_i... (i- натуральное число), вместо которых можно подставлять любые элементарные высказывания или их значения истинности;

2) из символов, обозначающих логические константы И(1) - "истина", Л(0) - "ложь";

3) символов логических операций Л(×),Ú,®,«,- (алфавит символов логических операций может быть и расширенным);

4) символов скобок (,) - вспомогательных символов для обозначения порядка выполнения операций. Будем использовать иногда и квадратные [], и фигурные{}скобки. Скобки ставятся в соответствии со смыслом высказывания.

Определение формулы.

1. Всякая высказывательная переменная - формула;

2. Символы И(1), Л(0) - формулы;

3. Если F₁иF₂- формулы, то

формулами являются и формулы, полученные путем их связывания логическими операциями, например, F₁ÙF₂(F₁×F₂,F₁F₂), F₁ÚF₂, F₁®F₂, F₁«F₂.

4. Если F- формула, то- формула.

Заметим, что это определение позволяет установить, что - тоже формула.

В определении формулы логики высказываний мы употребили слова русского языка, а также символы F, F₁, F₂, не входящие в алфавит языка логики высказываний, т.е. говорили о создаваемом формализованном языке на другом, обычном языке.

Когда о каком-либо языке a₁говорят на другом языкеa₂, тоa₂по отношению кa_1­называетсяметаязыком, аa₁по отношению кa₂-языком-объектом. Так, например, в учебнике английского языка, написанном на русском языке, английский - это язык объект, а русский - метаязык.

Поэтому символы F, F₁, F₂и слова и символы русского языка в определении формулы логики высказываний - это метаязыковые объекты по отношению к языку логики высказываний.

С неразличением языка-объекта и метаязыка связан ряд парадоксов, занимающих умы логиков, математиков и философов с античных времен до наших дней. Например, истинно или ложно следующее предложение, помещенное в рамке:

Предложение, записанное здесь, ложно

Если предположить, что это предложение истинно, то надо признать его ложность, и наоборот.

Оценивая предложение в рамке как истинное или ложное, мы говорим на метаязыке по отношению к языку, из слов которого это предложение составлено и который выступает в данном случае как язык-объект.

Между тем слово "ложно" вне рамки ничем не отличается от слова "ложно" внутри нее, так как происходит смещение языка-объекта и метаязыка. Это и приводит, по-видимому, к возникновению противоречия, хотя единого и бесспорного объяснения этого парадокса не существует до сих пор.

При построении формализованный языков возможность смешивания языка-объекта и метаязыка исключается.

Другой известный парадокс - высказывание легендарного древнегреческого поэта Эпименида, жившего на острове Крит в VIвеке до н.э. "Все критяне лжецы". Это утверждение логически противоречиво, если предположить, что лжецы всегда лгут, а нелжецы всегда говорят правду.

Метаязык, описывающий какой-либо искусственный язык, сам может быть искусственным, однако другим, отличным от языка-объекта, языком.

Таков, например, искусственный язык Бэкуса, описывающий правила построения фраз (синтаксис) универсального языка программирования АЛГОЛ. Смысл фраз (семантика) языка АЛГОЛ описывается на естественном языке.

Рассмотрим пример формализации высказываний. Пусть дано составное высказывание: "Если курсант Сидоров не присутствует на лекции и не является больным, то он находится в наряде".

Пусть х - высказывание "Курсант Сидоров находится на лекции", тогда - "Курсант Сидоров не находится на лекции";y- высказывание "Курсант Сидоров является больным",- "Курсант Сидоров не является больным";z- высказывание "Курсант Сидоров находится в наряде".

Таким образом, получаем формализованное высказывание в виде формулы .

Составим таблицу истинности этого высказывания:

Табл.4.7

х	y				z
0	0	1	1	1	0	0
0	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0	1
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	0	0	0	1	1

При определенном навыке можно сократить число столбцов до четырех: три отводятся для переменныхx, y, z, а четвертый для значения истинности формулыF=:

Табл.4.8

х	y	z
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Таким образом, высказывание ложно только тогда, когда одновременно ложныx,yиz. В последней таблице первые три столбца перечисляют восемь возможных размещений значений истинности трех переменных, т.е. 2³=8 способов составления векторов длины 3 из 2-х элементного множества В.

В приведенном примере формула ложна только на одном наборе значений истинности высказываний x, y, z. Имеются формулы, принимающие истинное значение на всех наборах значений входящих в них переменных. Такая формула, а также формула И(1) называюттавтологиямиили тождественно истинными формулами (º1).

Тавтологии играют в логике важную роль как формулы, отражающие логическую структуру предложений, истинных в силу одной только этой структуры.

Аналогично имеются тождественно ложныеформулы (º0).