4.2. Логические операции

4.2.1. Высказывания и высказывательные формы

Высказывание - это предложение, которое либо истинно, либо ложно. Например, высказывание "Москва - столица Российской Федерации" является истинным, а высказывание "Волга впадает в Черное море" - ложным. Не всякое предложение является высказыванием. К высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку нет смысла говорить об их истинности. Не являются высказываниями и такие предложения: "Математика - интересный предмет", "Классическая музыка лучше рок-музыки", поскольку нет и не может быть единого мнения о том, истинны эти предложения или ложны. Предложение "Существуют инопланетные цивилизации" следует считать высказыванием, так как оно либо истинное, либо ложное, хотя никто пока не знает, какое именно.

Предложение а²=4 не является высказыванием, поскольку содержит переменную, но становится высказыванием при подстановке вместо переменой ее значений. Такое предложение называется высказывательной формой. Предложения "Курсант х отличник" - высказывательная форма. Значение истинности обозначают "и" и "л" - это сокращения слов "истина" и "ложь" соответственно. Иногда используются слова "да" и "нет", наиболее часто используются символы "0" и "1". Из двух высказываний можно образовать новые высказывания с помощью союзов "и", "или", "если...то", "тогда и только тогда, когда" и др. С помощью частицы "не" или словосочетания "неверно, что" и из одного предложения можно получить новое. Подобные союзы и словосочетания - логические связки соответствуют логическим операциям в так называемой логике высказываний.

4.2.2. Основные логические операции

Образование составного высказывания с помощью логической связки называют логической операцией. Логическая операция, соответствующая союзу "и", называется конъюнкцией(от латинскогоconjunctio- "соединение"). Пример конъюнкции двух высказываний: "Я являюсь курсантом и изучаю дискретную математику".

Конъюнкциейназывается бинарная логическая операция, соединяющая два высказывания а и в в такое высказывание с, которое истинно только тогда, когда истинны оба входящих в него высказывания. Операция конъюнкции обозначается символомÙ(&) или просто×. В ряде случаев точку также опускают.

Конъюнкция может быть представлена таблицей, подобной таблице Кэли, называемой двухмерной таблицей истинности:

Табл.4.1

в а	0	1
0	0	0
1	0	1	с=аÙв

Таким образом, конъюнкция - это операция В²aВ, где В - двухэлементное множество{0,1}, где 0,1 - значения истинности высказываний. Известна также другая форма таблицы истинности - одномерная:

Табл.4.2

а	в	с=аÙв
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Конъюнкция nвысказываний истинна тогда и только тогда, когда все составляющие ее высказывания истинны.

Логическая операция, соответствующая союзу "или" в неразделительном смысле, называется дизъюнкцией(disijontio- "разделение"). Пример дизъюнкции: "На зачете по дискретной математике я получу 5 или 4".

Дизъюнкциейназывается логическая операция, соединяющая два высказывания а и в в такое высказывание с, которое ложно только тогда, когда ложны оба образующих высказывания.

Дизъюнкция обозначается символом Ú.

В латыни союзу "или" в неразделительном смысле соответствует слово vel. СимволÚпроисходит от первой буквы этого слова.

Таблица истинности дизъюнкции (одномерная) имеет вид:

Табл.4.3

а	в	с=аÚв
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Дизъюнкция nвысказываний ложна тогда и только тогда, когда все составляющие ее высказывания ложны.

Логическая операция, соответствующая частице "не", словосочетанию "неверно, что", называется инверсией. Пример инверсии: "Курсант Петров не отличник", "Неверно, что курсант Иванов заступает в караул".

Инверсиейназывается высказывание, полученное отрицанием данного высказывания.

Инверсию высказывания а обозначают , используя знак дополнения множеств.

Таблица истинности унарной операции инверсии ВaВ имеет вид:

Табл.4.4

а	с=
0	1
1	0

Логическая операция, соответствующая союзу "если...то", называется импликацией.

Примеры импликации: "Если вы будете хорошо заниматься в семестре, то сдадите зачет по дискретной математике".

Импликациейназывается логическая операция, соединяющая два высказывания а и в в такое высказывание с, которое ложно только тогда, когда а истинно, а в ложно.

Импликация обозначается символом ®.

Таблица истинности импликации имеет вид:

Табл.4.5

а	в	с=а®в
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

В отличие от обычной разговорной речи импликация не означает следствия в из а, такая причинно-следственная связь в логике высказываний не имеет смысла. Имеет смысл только истинность или ложность сложного высказывания а®в в зависимости от истинности и ложности составляющих его высказывания а и в. Приведенное выше высказывание преподавателя будет расценено курсантами как ложь, если они хорошо занимались в семестре, а на зачете получили неудовлетворительные оценки.

Логическая операция, соответствующая союзу "тогда и только тогда, когда", называется эквиваленцией(эквивалент-ностью).

Пример эквиваленции (эквивалентности): "Я поеду в отпуск тогда и только тогда, когда сдам зачет по дискретной математике".

Эквиваленцией(эквивалентностью) называется логическая операция, соединяющая два высказывания в такое сложное высказывание, которое истинно тогда, когда оба образующих высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Эквиваленция обозначается символом«.

Таблица истинности эквиваленции имеет вид:

Табл.4.6

а	в	с=а«в
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Далее мы познакомимся с другими логическими операциями, которым нет простого эквивалента в разговорной речи.

Заметим, что операции могут быть выражены через другие операции, например, импликация а®в может быть представлена в видеÚв, что может быть доказано построением соответствующих таблиц истинности.