5. Элементарные логические функции и функциональная полнота систем логических функций
5.1. Способы задания логических функций
Логическая функция может быть задана разными способами. Мы уже знаем задание функции в виде высказывания. Логическая функция может быть задана и некоторым словесным описанием, указывающим, на каких наборах аргументов какое значение она принимает и исключающим неверное толкование, всякую двусмысленность. Логическая функция может быть задана перечислением ее рабочих (единичных), запрещенных (нулевых) и условных наборов (на этих наборах функция не определена). Для упорядоченного задания n-мерных наборов переменных функцииf(x1,x2,...xn)удобно рассматривать их в виде целого неотрицательного числа. При этом младший разряд располагается справа. Например, для переменных х5,х4,х3,х2,х1конкретное их значение истинности 1,0,0,1,1 соответствует двоичному числу 10011. Это число еще называют номером набора. Для компактной записи наборов значений переменных логической функции целесообразно их представлять номерами - числами в десятичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления. Такой номер-набор называют еще весовым состоянием или весом этого набора.
Так, 100112«1910«238«1316.
В случае использования десятичной системы счисления каждой переменной соответствует степень числа 2 (вес разряда) в зависимости от номера переменной, например, в порядке 2423222120. Зафиксированный порядок переменных, каждая из которых имеет свой вес, называется базой функции (старший вес - справа). Как мы знаем, логическая функция может быть задана таблицей истинности, которая иногда еще называется таблицей соответствия. Рассмотрим таблицу истинности некоторой недоопределенной логической функции (табл.5.1).
Этой таблице соответствует логическая функция
Z(x3x2x1)=2,5[0,4,7]{1,3,6}.
Табл.5.1
-
22
х3
21
х2
20
х1
ВС
Z
0
0
0
0
0
0
0
1
1
~
0
1
0
2
1
0
1
1
3
~
1
0
0
4
0
1
0
1
5
1
1
1
0
6
~
1
1
1
7
0
Здесь зафиксирована база переменных функции Z- х3х2х1(в таблице над этими переменными указан их вес и введен столбец весового состояния ВС), перечислены рабочие наборы в десятичном коде 2,5, запрещенные наборы 0,4,7 в квадратных скобках и условные наборы 1,3,6 в фигурных скобках. Такое задание логической функции будем называть символической формой.
Пусть задана логическая функция f(х5х4х3х2х1) рабочими двоичными наборами 10011, 01010, 11000 и двоичными запрещенными наборами 00111, 00101. Тогда в восьмеричной системе счисления имеем следующую символическую форму:
f(x5x4x3x2x1)8=23,12,30[07,05],
а в шестнадцатеричной форме
f(x5x4x3x2x1)16=13,А,18[07,05].
Очевидно, что для задания логической функции одно из указанных множеств можно опустить (табл.5.2). При задании символической формы функции в десятичной форме знак указания системы счисления опускают. У полностью определенной логической функции можно указывать одно из множеств.
Таблицу истинности можно представить в двухмерном виде, который, как уже говорилось, называется картой Карно (табл.5.3).
Табл.5.2
-
22
х3
21
х2
20
х1
ВС
Z
0
0
0
0
0
0
1
0
2
1
1
0
0
4
0
1
0
1
5
1
1
1
1
7
0
Табл.5.3
-
х2х1
х3
00
01
11
10
0
0
0
1
~
3
~
2
1
1
4
0
5
1
6
0
7
~
ВС
Z
Около карты Карно (табл.5.3) иногда указываются области единичного значения переменных. Каждая клетка такой таблицы соответствует одному набору значений переменных, весовое состояние которого указано в правом верхнем углу, и в ней проставлено значение функции на таком наборе.
Логическая функция может быть представлена в виде формулы, такое представление носит название аналитического.
Например, логическая функция, заданная
табл.5.2, 5.3 может быть представлена
формулой
,
т.е. данная функция не зависит от х3.