8. Понятие о логических исчислениях
8.1. Формальные системы и формальные теории
Формальные системы - это системы операция над объектами, понимаемыми как последовательности символов, т.е. как слова в фиксированных алфавитах; операции являются операциями над символами. Термин "формальный" подчеркивает, что объекты и операции над ними рассматриваются формально, без каких-либо содержательных интерпретаций символов. При этом предполагается, что между символами не существует никаких связей и отношений, кроме тех, которые явно описаны средствами самой формальной системы.
Выше мы рассматривали определение формулы логики высказываний. Говорят, что множество формул, определенных таким образом, перечислимо, т.е. процедура порождения этого множества существует. Говорят, что множестворазрешимо, если имеется процедура, которая по любому объекту дает ответ, принадлежит ли он к этому множеству. Говорят, что множество формул логики высказываний разрешимо, поскольку существует процедура определения тождественной истинности некоторой формулы.
Определением формулы не фиксируется конкретный порядок порождения формул, поскольку для точного определения формулы этого не требуется. Таким образом, перечисляющая процедура порождения формул недетерминирована.
Такое описание представляет собой формальную систему, однозначно описывающую множество формул.
Исторически теория формальных систем возникла в рамках оснований математики при исследовании строения аксиоматических теорий и методов доказательства в таких теориях.
Всякая точная теория определяется, во-первых, языком, т.е. некоторым множеством высказываний, имеющих смысл с точки зрения этой теории, и, во-вторых, совокупностьютеорем- подмножеством языка, состоящим из высказываний, истинных в данной теории.
В математике с античных времен существовал образец систематического построения теории - геометрия Евклида, в которой все исходные предпосылки сформулированы явно, в виде аксиом, атеоремывыводятся из аксиом с помощью цепочек логических рассуждений, называемых доказательствами. Аксиомы в данной теории недоказуемы. Однако, до середины ХIХ века математические теории, как правило, не считали нужным явно выделять все исходные принципы; критерии же строгости доказательств и очевидности утверждений в разные времена были различны и также явно не формулировались. Время от времени это приводило к противоречиям и парадоксам, что требовало пересмотра основ той или иной теории. В концеXIXвека такой пересмотр затронул общие принципы организации математических теорий, что привело к созданию новой отрасли математики - основной математики, предметом которой стало как раз строение математических утверждений и теорий, которая поставила своей целью ответить на вопросы: "как должна быть построена теория, чтобы в ней не возникало противоречий", "какими свойствами должны обладать методы доказательств, чтобы считаться достаточно строгими?" и т.д.
Одной из фундаментальных идей, на которые опираются исследования по основаниям математики, является идея формализации теорий, т.е. последовательного проведенияаксиоматического методапостроения теорий. При этом не допускается пользоваться какими-либо предположениями об объектах теории, кроме тех, которые выражены явно в виде аксиом; аксиомы рассматриваются как формальные последовательности символов (выражения), а методы доказательств - как методы получения одних выражений из других с помощью операций над символами.
Такой подход гарантирует четкость исходных утверждений и однозначность выводов, однако может создаться впечатление, что осмысленность и истинность не играют никакой роли. Однако, в действительности и аксиомы, и правила вывода стремятся выбирать таким образом, чтобы построенной с их помощью формальной теории можно было предать содержательный смысл.
Формальная теорияназывается еще иисчислением.
Исчисление - знаковая система, создаваемая с использованием процесса образования всех синтаксически правильных символических выражений из букв алфавита системы - языка, т.е. слов и формул (фраз) и процесса вывода потенциально значимых (истинных) формул.
Строится она следующим образом:
1. Определяется множество формулилиправильно построенных выражений, образующих язык теории на основе алфавита.
2. Выделяется подмножество формул, называемых аксиомамитеории.
3. Задаются правила выводатеории.
Правило Rвывода формулыGиз формулыF1,F2,...Fn, т.е.R(F1,F2,...Fn,G)- это отношение выводимости на множестве формул.
Формула Gназывается непосредственно выводимой изF1,...Fnпо правилуR.
Часто это правило записывается в виде
,
что напоминает запись аргументов, F1,...Fn- это посылки,G- следствие или заключение.
Выводомформулы В из формул А1,...Аnназывается последовательность формулF1,...Fmтакая, чтоFm=В,
а любаяFi(
)
есть либо аксиома, либо одна из исходных
формул А1,...Аn,
либо непосредственно выводима из формулF1,...Fi-1или какого-либо их подмножества по
одному из правил вывода.
Если существует вывод В из А1,...Аn, то говорят, что Ввыводимаиз А1,...Аn.
Этот факт обозначается
А1,...АnÃВ.
Формулы А1,...Аnназываютгипотезамиилипосылкамивывода. Переход в выводе отFi-1,...Fiназываетсяi-м шагом вывода. Такие выражения называют секвенциями.
Доказательствомформулы В в теории Т называется вывод В из пустого множества формул, т.е. вывод, в котором в качестве исходных используют только аксиомы.
Формула В, для которой существует доказательство, называется формулой, доказуемойв теории Т, или теоремой теории Т.
Факт доказуемости В обозначается:
ÃВ.
Очевидно, что присоединение формул к гипотезам не нарушает выводимости. Поэтому, если ÃВ, то АÃВ, и если А1,...АnÃВ, то А1,...Аn,Аn+1ÃВ для любых А и Аn+1.
Порядок гипотез в списке не существенен.
Следует заметить, что в формальной теории имеются два типа высказываний:
1. Высказывания самой теории - теоремы;
2. Высказывания о теории - о свойствах ее теорем, доказательств и т.д., которые формулируются на языке, внешнем по отношению к теории - на метаязыке и называются метатеоремами.
Высказывания "А1,...АnÃВ" о выводе В из А1,...Аnявляется метатеоремой, его можно рассматривать как дополнительное правило вывода, которое можно присоединить к исходным и использовать в дальнейшем.