8.2. Исчисление высказываний
Исчисление высказываний является простым примером формальной аксиоматической теории. Порождение тождественно-истинных высказываний и является основной задачей исчисления высказываний.
Построим формальную аксиоматическую теорию исчисления высказываний в одном из возможных ее вариантов.
1. Алфавитисчисления высказываний состоит 1) из высказывательных переменных, которые будем обозначать прописными буквамиX, Y, Z...; 2) из символов логических операций, из которых выберем импликацию®и инверсию - (можно показать, что такая система соответствующих логических функций является функционально полной); 3) из скобок (,).
2. Формулыисчисления высказываний:
а) все переменные - формулы;
б) если А и В - формулы, то () и (А®В) тоже формулы.
Пример. Пусть А,В,С - формулы. Тогда
(С®(А®В)), ((()®В)®()) -
тоже формулы.
Для сокращения записи опустим в формуле внешние скобки и те пары скобок, которые относятся к инверсии:
С®(А®В), (®В)®.
3. Аксиомы исчисления высказываний.
Аксиомы должны обеспечивать порождение всех тождественно истинных высказываний.
Рассмотрим одну из возможных систем аксиом, содержащую всего три аксиомы.
А1. А®(В®А);
А2. (А®(В®С))®((А®В)®(А®С));
А3. (®)®((®А)®В).
По сути А1-А3 - схемы аксиом, поскольку они порождают бесконечное множество формул, учитывая правило подстановки.
4. Правила вывода.
1) Правило подстановки.
Если Х - выводимая формула, содержащая букву А (обозначим Х(А)), то выводима и формула Х(В), получающаяся из Х заменой всех вхождений А на произвольную формулу:
;
2) Правило заключения, уже нам знакомое.
Это правило называют Modus Ponens или сокращенноm.p:
.
Строго говоря, в правилах вывода использованы также схемы формул (метаформулы).
Рассмотрим аксиомы и убедимся в их тождественной истинности (тавтологичности, еще говорят - общезначимости).
А1. А®(В®А) =Ú(ÚА) = 1;
А2. (А®(В®С))®((А®В)®(А®С)) =
= (ÚÚС)®(()ÚÚС) =
= ()Ú(АÚÚС) =
= АВÚÚÚС = 1ÚÚÚС = 1;
А3. (®)®((®А)®В) = (ВÚ)®(()ÚВ) =
= ()ÚÚВ =АÚÚВ = 1ÚÚВ = 1.
Таким образом, все аксиомы, как и следовало ожидать, тождественно истинны, хотя мы и говорили, что аксиомы недоказуемы. Будем считать, что мы использовали метадоказательства.
Проиллюстрируем вывод формулы исключенного третьего АÚили А®А, т.е. докажемÃА®А для любой формулы А.
1. Возьмем аксиому А2 и подставим формулу А®А вместо В и формулу А вместо С:
(А®(В®С))®((А®В)®(А®С)),
А®А А (А®А) А
Получим:
(А®((А®А)®А))®((А®(А®А))®(А®А)).
2. Подставим в А1 (А®А) вместо В:
А®(В®А),
А®А
Получим:
А®((А®А)®А).
3. Обратим внимание, что это выражение является левой частью импликации, полученной после первого шага, то есть по правилу m.p:
,
получаем ((А®(А®А))®(А®А)), т.е. выражение под чертой.
4. Подставим теперь в А1 формулу А вместо В:
А®(В®А),
А
получим А®(А®А).
5. Обратим внимание, что это выражение также является левой частью выражения, полученного в результате третьего шага, то есть по правилу m.p:
,
получаем ÃА®А, что и требовалось доказать.
Аналогично могут быть выведены другие тождества логики высказываний.
Более строго, в исчислении высказываний:
1) всякая выводимая (из пустой системы гипотез) формула исчисления высказываний тождественно истинна;
2) если формула А исчисления высказываний является тождественно истинной, то она выводима.
Формальную аксиоматическую теорию называют непротиворечивой, если не существует формулы А такой, что одновременно выводимы А и .
В математической логике доказывается, что исчисление высказываний непротиворечиво.
Формальную аксиоматическую теорию называют полной, если добавление любой невыводимой формулы в качестве схемы аксиом приводит к противоречивой теории.
Исчисление высказываний полно.