54

3. Основные понятия теории графов

3.1. Способы задания графов

Совокупность множества М с заданным на нем бинарным отношением ТМ²называется графом

G=<M,T>,

где М - носитель графа - множество вершин, изображаемых точками, Т - сигнатура графа - множество линий, обозначающих отношения.

Между элементами М и Т определено отношение инцидентности, т.е. связи между двумя элементами множества М через один элемент множества Т. Примеры графов: отношения отцовства и материнства на множестве людей, карты дорог местности, электрические схемы соединений приборов и т.д.

Рис.3.1. Пример графа "звезда"

М={1,2,3,4,5},

Т={1-3,1-4,2-4,2-5,3-1,3-5,4-2,4-1,5-3,5-2}.

Множество линий-ребер в Т задается обозначением "i-j", гдеi,j- инцидентные вершины, отношение Т - "быть связанным".

Теорию графов начали разрабатывать для решения некоторых задач о геометрических конфигурациях, состоящих из точек и линий. В этих задачах несущественно, соединены ли точки конфигурации отрезками прямыми или криволинейными дугами, какова длина линий и другие геометрические характеристики конфигурации. Важно лишь, что каждая линия соединяет какие-либо две из заданных точек.

Первые серьезные результаты теории графов связаны с решением задач построения электрических цепей и подсчета числа химических соединений с различными типами молекулярных связей.

Широкое развитие теория графов получила с 50-х годов ХХ века в связи с появлением такой науки, как кибернетика. Графы применяют при анализе функционирования систем. С отдельными компонентами изучаемой системы удобно связывать вершины графа, а с парами взаимодействующих компонент - его ребра. Такой граф называют структурным графом системы.

В некоторых задачах существенно направление ребер графа. Направленные ребра называют дугами, а содержащий их граф - ориентированным (орграфом). Таковым графом может быть изображена диаграмма Хассе (рис.3.1). Соответственно граф с неориентированными ребрами называется неориентированным.

Множество ребер может быть пусто. Если же множество вершин пусто, то пусто и множество ребер. Такой граф называется пустым. Линии, изображающие ребра, могут пересекаться на изображении графа, но точки их пересечений не являются вершинами. Различные ребра могут быть инцидентны одной и той же паре вершин, в этом случае они называются кратными. Граф, содержащий кратные ребра, называют мультиграфом (псевдографом). Ребро (дуга) может соединять некоторую вершину саму с собой, такое ребро (дуга) называется петлей. Будем рассматривать конечные графы, содержащие конечные множества вершин и ребер (дуг).

Рассмотрим предложенную фон Нейманом архитектуру ЭВМ, которая состоит из множества устройств М={а,в,c,d,e}, где а - устройство ввода, в - арифметическое устройство (процессор), с - устройство управления,d- запоминающее устройство, е - устройство вывода.

Информационный обмен между этими устройствами задается графом (рис.3.2).

На рис.3.2 вершины графа изображены кружками, а не точками, как на рис.3.1.

Рис.3.2. Граф, описывающий архитектуру

фон Неймановской ЭВМ

Граф можно задать так называемой матрицей смежности, каждой i-ой строке (j-му столбцу) которой однозначно сопоставляют элемент множества М. Тогда каждая клетка в_ijвзаимно однозначно соответствует элементам множества ММ=М². Клетку в_ij, которая соответствует элементу, принадлежащему бинарному отношению ТМ², отмечают, например, единицей, а в остальные клетки записывают нули.

Рассмотрим матрицу смежности В для графа, изображенного на рис.3.2. Устройства i,jнаходятся в отношении Т, если из устройстваiинформация поступает в устройствоj.

Граф можно задать и с использованием перечисления его дуг, как это сделано на рис.3.1:

М={а,в,с,d,е}, Т={(а,в),(а,с),(а,d),(в,с),(в,е),

(в,d),(с,а),(с,в),(с,d),(с,е),(d,с),(d,в),(d,е),(е,с)}.

Граф можно задать в виде так называемого фактор-множества, представленное парами "элемент множества М - подмножество М, представляющее собой окрестность единичного радиуса этого элемента":

[<a,{в,c,d}>,<в,{c,d,е}>,<c,{a,в,d,e}>,<d,{в,c,e}>,<e,{c}>].

Ориентированный граф может быть задан и матрицей инцидентности nmА=, гдеn=|Х|,m=|Т|, у которой

если вершина m_iявляется концом дугиt_j,

если вершина m_iявляется началом дугиt_j,

если вершина _iне инцидентна дугеt_j,

,.

А_ij=

Так, для ориентированного графа (рис.3.3) матрица инцидентности имеет вид:

Рис.3.3. Некоторый ориентированный граф

В описанном виде матрицы инцидентности применимы только к графам без петель, в случае наличия которых матрицу надо разбить на две полуматрицы: положительную и отрицательную.

Для мультиграфов в матрице смежности указывают кратность ребер, например, для графа, изображенного на рис.3.4, матрица смежности представляется в виде

Рис.3.4. Некоторый ориентированный мультиграф

Граф называется нагруженным, если каждому ребру (дуге) поставлено в соответствие некоторое действительное число (длина дуги, все дуги, стоимость дуги и т.д.).

Представим в виде графа некоторые бинарные отношения. Отношение Т в множестве М рефлексивно, как мы уже знаем, для каждого элемента mМ справедливо (m,m)Т. На графе это изображается петлей (рис.3.5а). На матрице смежности графа с рефлексивным отношением все элементы, лежащие на главной диагонали отмечены единицами.

Отношение в множестве М называется симметричным, если из (m_i,m_j)Т следует (m_i,m_j)М,m_im_j(рис.3.5б). Матрица смежности симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

Отношение Т в множестве М называется транзитивным, если из (m_i,m_j)Т, (m_i,m_k)Т следует(m_i,m_k)Тm_i,m_j,m_kМ,m_im_j, m_im_k, m_jm_k(рис.3.5в).

Вграфе, задающем транзитивное отношение Т, для всякой пары дуг таких, что конец первой совпадает с началом второй, существует транзитивно замыкающая дуга, имеющая общее начало с первой и общий конец со второй.

Рис.3.5. Изображения бинарных отношений в виде графа

а) рефлексивное отношение, б) симметричное отношение,

в) транзитивное отношение.