11. Понятие о конечном автомате и его математическом описании
11.1. Основные определения теории конечных автоматов
Конечным автоматом (дискретным автоматом, просто автоматом) называется система (пятерка)
S=<X,Y,Z,j,y>,
в которой Х={х1,х2,...хl} - конечное входное множество (входной алфавит);
Y={y1,y2,...yk} - конечное множество внутренних состояний автомата (алфавит состояний);
Z={z1,z2,...zr} - конечное выходное множество (выходной алфавит);
j - функция переходов;
y - функция выходов.
Если в автомате выделено одно состояние, называемое начальным (обычно это y1), то полученный автомат называется инициальным и обозначается <S,y>. Таким образом, по неинициальному автомату с l состояниями можно l различными способами определить инициальный автомат.
Функция переходов представляет собой отображение вида j: Х×Х®Y или в другом виде:
y(t+1)=j[x(t),y(t)],
где x(t),y(t),y(t+1) - конкретные символы алфавитов Х и Y соответственно в моменты автоматного времени t, t+1 (в тактах t и t+1); y(t) называется текущим внутренним состоянием при соответствующем х(t), а y(t+1) - последующее внутреннее состояние.
Иначе говоря, функция переходов определяет последующее состояние автомата по заданному текущему и входному символу.
Функция выходов представляет собой отображение вида y: Х×Y®Z или в другом виде:
z(t)=y[x(t),y(t)],
где x(t),y(t),z(t) - конкретные символы алфавитов X,Y,Z соответственно. Мы иногда не будем особо выделять последующие значения x(t+1) и z(t+1), поэтому зависимость от t будем указывать только для внутреннего состояния, чтобы отделять y(t) от y(t+1).
Указанная функция выходов - функция так называемого автомата Мили.
В теории конечных автоматов рассматривается также автомат Мура, у которого функция выходов проще: Y: Х®Y или
z(t)=y[y(t)].
Автомат называется комбинационным, если для любого входного символа х и любых состояний yi, yj j(х,yi)=j(х,yj)=z, иначе говоря, если выходной символ z не зависит от состояния и определяется текущим входным символом. Говорят, что у такого частного класса автомата все состояния эквивалентны и, следовательно, комбинационный автомат имеет одно состояние. Такой автомат задается тройкой:
S=<X,Z,y>.
Рассмотрим представление конечного автомата в виде "черного" ящика (рис.11.1).
Рис.11.1. Конечный автомат (КА)
в виде "черного" ящика
В комбинационном автомате внутренних состояний не указывают.
Входное слово - последовательность входных символов.
Выходное слово - последовательность выходных символов, соответствующих входному слову. В конечном автомате также выделяется последовательность символов внутренних состояний, соответствующих входному слову.
Большой вклад в теорию дискретных (цифровых) автоматов внесли отечественные ученые: М.А.Гаврилов, который опубликовал первую в мире монографию "Теория релейно-контактных схем" (1950 г.), В.М.Глушков, В.Н.Рогинский, П.П.Пархоменко, В.Г.Лазарев, С.И.Баранов, А.Д.Закревский, Э.А.Якубайтис, С.В.Яблонский, В.И.Варшавский и др.