Книги / TURIN / ЛЕКЦПР~2

198

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. СИНТЕЗ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ

В ЗАДАННОМ БАЗИСЕ. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ КАСКАДОВ

При синтезе логических схем заданы соответствующие логические функции, требуется получить логическую схему, например, в виде переключательной схемы или схемы из функциональных (логических) элементов. Пусть задана логическая функция f(х₃х₂х₁)=х₂Ú₁х₃.

Получим переключательную схему:

Рис.П2.1. Переключательная схема,

реализующая функцию f(х₃х₂х₁)=х₂Ú₁х₃

На рис.П2.1 верхняя и нижняя горизонтальные линии обозначают, например, полюса источника питания, а буква F - некоторый элемент, срабатывающий в случае равенства логический единице функции х₂Ú₁х₃, т.е. в случае наличия цепи к верхнему полюсу. Символами переменных х₁,х₂,х₃ могут обозначаться, например, контакты некоторых датчиков, а F - обмотка реле, контакт которого включает некоторый исполнительный орган (вентилятор, сирена, нагреватель и т.д.). В качестве F может выступать и транспарант, сирена и т.д. Соответствующая релейно-контактная схема изображена на рис.П2.2.

Часто датчики подключаются не посредственно в цепи реализации логических функций, а через реле-повторители (рис.П2.3).

Рис.П2.2. Релейно-контактная схема

реализации логической функции х₂Ú₁х₃

Рис.П2.3. Релейно-контактная схема

реализации логической функции х₂Ú₁х_3­

с реле-повторителями сигналов датчиков

Синтез логических схем на основе функциональных (логических) элементов по сравнению с переключательными схемами требует особого представления логической функции - в виде суперпозиции операций заданного базиса.

Наиболее просто это сделать, если задать базис И, ИЛИ, НЕ. Предполагается, что логическая функция представлена в ДНФ. Если же это не так, что, как мы знаем, ее всегда можно представить в ДНФ. Пусть, например, задана следующая логическая функция: z(авсdx₂x₁)=a₂­₁Úв₂x₁Úcx₂₁Údх₂х₁.

Получим схему в базисе И, ИЛИ, НЕ:

Рис.П2.4. Схема в базисе И, ИЛИ, НЕ

без ограничения числа входов функциональных элементов

Схема рис.П2.4 изображена в предположении, что число входов элементов не ограничено.

Если же должны использоваться только двухвходовые элементы, т.е. все операции бинарные (кроме инверсии), то схема будет выглядеть так, как изображено на рис.П2.5.

При синтезе логических схем используется метод каскадов, основанный на разложении Шеннона:

f(x₁,...x_i,...x_n)=x_if(x₁,...1,...x_n)Ú

Ú_if(x₁,...0,...x_n)=x_if(1)Ú_if(0).

Такое разложение позволяет исключать переменные и понижать размерность по каскадам до тех пор, пока остаточные функции не будут иметь простой вид и их реализация не будет представлять трудности.

Реализуем вышерассмотренную функцию z(авсdx₂x₁) методом каскадов с использованием блоков исключения переменной вида x_if(1)Ú_if(0), которые легко реализуются в базисе И, ИЛИ, НЕ.

Рис.П2.5. Схема с учетом наличия только

двухвходовых элементов И, ИЛИ

Очевидно, что

z(авсdx₂x₁)=х₁(в₂Údх₂)Ú₁(а₂Úсх₂),

т.е. z(1)=в₂Údх₂, z(0)= а₂Úсх₂,

которые реализуются на двухвходовых элементах И, ИЛИ. Дальнейшее разложение проводить нет необходимости (имеет один каскад), схема имеет вид рис.П2.6.

Интересно, что схема, построенная по методу каскадов, проще в смысле числа элементов - необходимо 11 элементов (9 двухвходовых и 2 инвертора) против 13 элементов (11 двухвходовых и 2 инвертора).

В общем случае сложность остаточных функций зависит от порядка исключения переменных и оптимальное их исключение ищут специальными методами, основанными на понятии булевой производной:

=f(x₁,x₂,...x_i-1­,1,x_i+1,...x_n)Å

Åf(x₁,x₂,...x_i-1­,0,x_i+1,...x_n),

где Å - сумма по модулю два.

Рис.П2.6. Схема, построенная по методу каскадов

При использовании базисов, отличных от рассмотренного базиса И, ИЛИ, НЕ, блоки исключения переменных и блоки реализации остаточных функций реализуются в этом базисе.

Например, в импликативном базисе {®,0}:

=а®0

аÚв=Úв=®в=(а®0)®в

а×в====

=(а®(в®0))®0.

Наиболее часто используются базисы, состоящие из одной функции: И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

Представление логической функции в этих базисах требует использования только этих операций с учетом ограничений по числу входов соответствующих элементов. Для этого используется закон Де Моргана:

f(авсd)===.

Это представление в базисе И-НЕ.

В базисе ИЛИ-НЕ:

f(авсd)==.

Соответствующие схемы представлены на рис.П2.7.

Рис.П2.7. Реализация логической функции

f(авсd)= в базисе 2И-НЕ (а) и 2ИЛИ-НЕ (б),

т.е. для двухвходовых элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ

В случае превышения местности операция следует еще раз применить закон Де Моргана, например,

т.е. получили только одноместные и двухместные операции И-НЕ.