1.2. Основные операции над множествами

Объединениеммножеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами множества А или множества В:

А В ={x:xAили хВ},

где - знак объединения.

На диаграмме Эйлера это может быть показано штриховкой (рис.1.2).

Рис.1.2. Объединение множеств А и В в объединенное множество

(А В), обозначенное штриховкой

Пересечениеммножеств А и В называется множество АВ, элементы которого являются элементами обоих множеств:

А В ={x:xAи хВ},

где - знак пересечения.

Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис.1.3.

Рис.1.3. Пересечение множеств А В

Разностьюмножеств А и В называется множество А\В, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В:

А\В = {x:xAи хВ},

где - знак непринадлежности (отрицание принадлежности), \ - знак разности.

Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис.1.4.

Рис.1.4. Разность А\В множеств А и В.

Так, если А = {1,2,3,4,5}, В ={4,6}, то

А\В = {1,2,3,5}, В\А ={6}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество АВ = (А\В)(В\А), изображенное на рис.1.5,- знак симметрической разности.

Так, если А = {1,2,3}, В ={3,4,5}, то

АВ ={1,2,4,5}.

Рис.1.5. Симметрическая разность множеств А и В.

Рассмотренные операции являются двухместными (бинарными). Имеется одноместная (унарная) операция дополнения.

Дополнениемна множестве А является множество, содержащее элементы универсумаI, не включенные во множество А:

={x:xА},

где - знак дополнения, "инверсия", читается "не А".

Это иллюстрирует рис.1.6.

Рис.1.6. Дополнение множества А до универсума I

Так, если А = {3,4}, аI = {1,2,3,4,5}, то={1,2,5}.

Используя эти основные операции, можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется одноместная операция дополнения, затем пересечения и только затем - операция объединения (разности). Для изменения этого порядка в выражении используют скобки.

1.3. Декартово произведение множеств

Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.

Декартовым произведением АВ множеств А и В называется множество М вида

М = {(a_i,в_j):a_iA, в_jB}.

Здесь круглыми скобками () обозначается последовательность, т.е. множество, в котором зафиксирован порядок элементов (упорядоченное множество). Другое название такой последовательности вектор (кортеж). Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами, нумеруемыми слева направо. Вектора длины 2 часто называют упорядоченными парами, длины 3 - тройками и т.д. Вектор длиныnиногда называютn-кой ("энкой"). Проекцией прiвектораназывается егоi-ая компонента. Таким образом, М=АВ это множество пар.

В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат одному множеству А²(В²).

Аналогично понятию декартова произведения двух множеств определяется декартово произведение nмножеств:

М₁М₂...М_n =

= М = {(m_i1,m_i2,...m_in):m_i1M₁, m_i2M₂,...m_inM_n}.